Fundamentalna grupa

U matematičkom polju algebarske topologije, fundamentalna grupa topološkog prostora je grupa klasa ekvivalencije pod homotopijom petlji sadržanih u prostoru. Ona beleži podatke o osnovnom obliku ili rupama topološkog prostora. Fundamentalna grupa je prva i najjednostavnija homotopska grupa. Ona je homotopski invarijantna. Topološki prostori koji su homotopski ekvivalentni (ili u jačem slučaju homeomorfni) imaju izomorfne fundamentalne grupe.

Abelianizacija fundamentalne grupe se može identifikovati sa prvom homolognom grupom prostora. Kada je topološki prostor homeomorfan do simplicijalnog kompleksa, njegova fundamentalna grupa može se eksplicitno opisati u smislu generatora i relacija.

Anri Poenkare je definisao fundamentalnu grupu 1895. godine u svojoj publikaciji „Analiza situsa”. Koncept se pojavio u teoriji Rimanovih površina, u delu Bernharda Rimana, Poenkara i Feliksa Klajna. Opisana su monodromska svojstva kompleksno vrednosnih funkcija, kao i potpuna topološka klasifikacija zatvorenih površina.

Intuicija

Može se započeti sa prostorom (na primer, površinom) i nekom tačkom u njemu, i svim petljama koje počinju i završavaju u toj tački - stazama koje počinju u toj tački, lutaju okolo i na kraju se vraćaju u početnu tačku. Dve petlje se mogu kombinovati na očigledan način: može se putovati duž prve petlje, a zatim duž druge. Dve petlje smatraju se ekvivalentnim, ako se jedna može deformisati u drugu bez raskidanja. Skup svih takvih petlji sa ovom metodom kombinovanja i stoga ekvivalencijom između njih je fundamentalna grupa za taj dati prostor.

Definicija

Ilustracija dvostrukog torusa.

U ovom članku X je topološki prostor. Tipičan primer je površina poput one koja je prikazana desno. Štaviše, $x_{0}$ je tačka u X koja se zove osnovna tačka. (Kao što je objašnjeno u daljem tekstu, njena uloga je uglavnom pomoćna.) Ideja definicije homotope grupe je da se odredi koliko (široko gledano) krive na X mogu biti deformisane jedna u drugu. Precizna definicija zavisi od pojma homotopije petlji, koji je objašnjen ispod.

Homotopija petlji

Za dati topološki prostor X, petlja bazirana u $x_{0}$ se definiše da je kontinuirana funkcija (takođe poznata kao kontinuirana mapa)

$\gamma :[0,1]\to X$

takva da su početna tačka $\gamma (0)$ i završna tačka $\gamma (1)$ obe jednake sa $x_{0}.$

Homotopija petlji

Homotopija je kontinuirana interpolacija između dve petlje. Preciznije, homotopija između dve petlje $\gamma ,\gamma ':[0,1]\to X$ (bazirane u istoj tački $x_{0}$) je kontinuirana mapa

$h:[0,1]\times [0,1]\to X,$

tako da je

$h(0,t)=x_{0}$ za svako $t\in [0,1],$ to jest, početna tačka homotopije je $x_{0}$ za svako t (što se često smatra vremenskim parametrom).

$h(1,t)=x_{0}$ za svako $t\in [0,1],$ to jest, slično krajnja tačka ostaje u $x_{0}$ za svako t.

$h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)$ za svako $r\in [0,1].$

Ako postoji takva homotopija h, $\gamma$ i $\gamma '$ se smatraju homotopnim. Odnos „$\gamma$ je homotopan sa $\gamma '$” je relacija ekvivalencije, tako da se skup klasa ekvivalencije može smatrati:

$\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}$

To se naziva fundamentalnom grupom topološkog prostora X i baznom tačkom $x_{0}.$ Svrha razmatranja klasa ekvivalencije petlji do homotopije, za razliku od skupa svih petlji (tzv. prostora petlji od X) je da ovaj kasniji, iako je koristan za razne svrhe, prilično je veliki i glomazan objekat. Suprotno tome, gornji kvocijent ima u mnogim slučajevima upravljivu i izračunljivu veličinu.

Struktura grupe

Sabiranje petlji

Prema gornjoj definiciji, $\pi _{1}(X,x_{0})$ je samo skup. On postaje grupa (i stoga zaslužuje naziv fundamentalna grupa) koristeći spajanje petlji. Preciznije, za date dve petlje $\gamma _{0},\gamma _{1},$ njihov proizvod je definisan kao petlja

${\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}:[0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}$

Stoga petlja $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ prvo sledi petlju $\gamma _{0}$ sa „dvostrukom brzinom”, a zatim sledi $\gamma _{1}$ sa „dvostrukom brzinom”.

Proizvod dve homotopne klase petlji $[\gamma _{0}]$ i $[\gamma _{1}]$ je definisan kao $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}].$ Može se pokazati da ovaj proizvod ne zavisi od izbora predstavnika i stoga daje dobro definisanu operaciju na setu $\pi _{1}(X,x_{0}).$ Ova operacija pretvara $\pi _{1}(X,x_{0})$ u grupu. Njen neutralni element je konstantna petlja, koja ostaje u $x_{0}$ za svo vreme t. Inverzna petlja (homotop klase) je ista petlja, ali se prelazi u suprotnom smeru. Formalno,

$\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).$

Za tri bazične petlje $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ proizvod

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}$

je spajanje tih petlji, prelazeći $\gamma _{0}$ zatim $\gamma _{1}$ sa četvorostrukom brzinom, i zatim $\gamma _{2}$ sa dvostrukom brzinom. U poređenju s tim,

$\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})$

prelazi iste putanje (u istom redosledu), ali $\gamma _{0}$ sa dvostrukom brzinom, i $\gamma _{1},\gamma _{2}$ sa četvorostrukom brzinom. Stoga, zbog različitih brzina, dve staze nisu identične. Aksiom asocijativnosti

$[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]$

konsekventno presudno zavisi od činjenice da se staze razmatraju do homotopije. Oba gornja kompozita su homotopna, na primer, petlja koja prelazi sve tri petlje $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ sa trostrukom brzinom. Skup baziran na petljama do homotopije, podržan gore navedenom operacijom pretvara $\pi _{1}(X,x_{0})$ u grupu.

Zavisnost od bazne tačke

Fundamentalna grupa generalno zavisi od izbora bazne tačke, međutim može se pokazati da, sve do izomorfizama (zapravo, čak i do unutrašnjeg izomorfizma), ovaj izbor ne pravi razliku dokle god je prostor X povezan sa putanjom. Stoga za prostore povezane sa stazama mnogi autori pišu: $\pi _{1}(X)$ umesto $\pi _{1}(X,x_{0}).$

Literatura

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Annals of Mathematics Studies, 90, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08207-3, MR 505692 
• Brown, Ronald (2006), Topology and Groupoids, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8 
• Bump, Daniel (2013), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 225 (2nd изд.), Springer, ISBN 978-1-4614-8023-5, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2 
• Crowell, R.H.; Fox, Ralph (1963), Introduction to Knot Theory, Springer 
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007, ISBN 978-3-0346-0208-2 
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann Surfaces, ISBN 0-387-90617-7 
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, стр. xviii+327, see Exp. V, IX, X., ISBN 978-2-85629-141-2, arXiv:math.AG/0206203  
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd изд.), Springer, ISBN 978-3319134666 
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Humphreys, James E. (2004), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics (21), Springer, ISBN 9780387901084 
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, ISBN 0-387-90052-7 
• Maunder, C. R. F. (januar 1996), Algebraic Topology, Dover Publications, ISBN 0-486-69131-4 
• Massey, William S. (1991), A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, ISBN 038797430X 
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, ISBN 9780226511832 
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 
• Rotman, Joseph (22. 7. 1998), An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1 
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology, Превод: Heil, Wolfgang, Academic Press, ISBN 0-12-634850-2 
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A. (10. 12. 1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, ISBN 0-387-90202-3 
• Spanier, Edwin H. (1989), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5 
• Strom, Jeffrey (2011), Modern Classical Homotopy Theory, AMS, ISBN 9780821852866 
• Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6 
• Searcóid, Mícheál Ó (2006), Metric spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7 

Spoljašnje veze

• „Fundamental group”. PlanetMath. 
• „Fundamental groupoid”. PlanetMath. 
• Weisstein, Eric W. „Fundamental group”. MathWorld. 
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce fundamental group by Nicolas Delanoue
• Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
• Groupoids in Mathematics