Konveksni skup

С Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Ilustracija konveksnog skupa koji izgleda donekle poput deformisanog kruga. Crni linijski segment koji povezuje tačke x i kompletno leži unutar (zelenog) skupa. Budući da je to tačno za bilo koje tačke x i y unutar skupa koje se mogu izabrati, skup je konveksan.
Ilustracija nekonveksnog skupa. Kako (crveni) deo (crngo i crvenog) linijskog-segmenta koji povezuje tačke x i y leži izvan (zelenog) skupa, skup je nekonveksan.

U geometriji, podskup Euklidovog prostora, ili specifičnije afini prostor nad realnim brojevima, je konveksan ako, sa bilo koje dve tačke, on povezuje ceo linijski segment koji ih povezuje. Ekvivalentno, konveksni skup ili konveksni region je podskup koji preseca svaku liniju u jednom linijskom segmentu (verovatno praznom).[1][2] Na primer, čvrsta kocka je konveksni skup, dok sve što je šuplje ili ima udubljenje, na primer, oblik polumeseca, nije konveksno.

Granica konveksnog skupa je uvek konveksna kriva. Presek svih konveksnih skupova koji sadrže dati podskup A Euklidovog prostora naziva se konveksni omotač A. To je najmanji konveksni skup koji sadrži A.

Konveksna funkcija je realno vrednosna funkcija definisana na intervalu sa svojstvom da je njegov epigraf (skup tačaka na ili iznad grafikona funkcije) konveksni skup. Konveksna minimizacija je potpolje optimizacije koje izučava problem minimizacije konveksnih funkcija nad konveksnim skupovima. Prva grana matemakia posvećena izučavanju svojstava konveksnih skupova i konveksnih funkcija se naziva konveksna analiza.

Pojam konveksnog skupa može se generalizovati, kao što je opisano u daljem tekstu.

Definicije[уреди | уреди извор]

Funkcija je konveksna, ako i samo ako njen epigraf, region (obojen zeleno) iznad njenog grafikona (prikazan plavom linijuom), je konveksan set.

Neka je S vektorski prostor ili afini prostor nad realnim brojevima, ili, generalnije, nad nekim uređenim poljem. Ovim su obuhvaćeni Euklidovi prostori, koji su afini prostori. podskup C od S je konveksan ako je za svako x i y u C, linijski segment koji povezuje x i y uključen u C. To znači da afina kombinacija (1 − t)x + ty pripada C, za svako x i y u C, i t na intervalu [0, 1]. To podrazumeva da je konveksnost (svojstvo da je konveksan) invarijantna pod afinim trasformacijama. Time se isto tako podrazumeva da je konveksni skup u realnom ili kompleksnom topološkom vektorskom prostoru povezan putanjom, i stoga povezan.

Skup C je striktno konveksan ako je svaka tačka na linijskom segmentu koji povezuje x i y izuzev krajnjih tačaka u unutrašnjosti C.

Skup C je apsolutno konveksan ako je konveksan i balansiran.

Konveksni podskupovi iz R (skupa realnih brojeva) su intervali i tačke iz R. Neki primeri konveksnih podskupova Euklidske ravni su čvrsti pravilni mnogouglovi, čvrsti trouglovi i preseci čvrstih trouglova. Neki primeri konveksnih podskupova Euklidskog trodimenzionalnog prostora su Arhimedova tela i pravilni poliedri. Poliedri Kepler-Puansoa su primeri nekonveksnih skupova.

Nekonveksni set[уреди | уреди извор]

Skup koji nije koveksan se naziva nekonveksni skup. Mnogougao koji nije konveksni poligon se ponekad naziva konkavni poligon,[3] a neki izvori generalnije koriste termin konkavni skup sa značenjem nekonveksni skup,[4] mada ta upotreba većinom nije dozvoljena.[5][6]

Komplement konveksnog skupa, kao što je epigraf konkavne funkcije, se ponekad naziva reverzni konveksni skup, posebno u kontekstu matematičke optimizacije.[7]

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Morris, Carla C.; Stark, Robert M. Finite Mathematics: Models and Applications (на језику: енглески). John Wiley & Sons. стр. 121. ISBN 9781119015383. Приступљено 5. 4. 2017. 
  2. ^ Kjeldsen, Tinne Hoff. „History of Convexity and Mathematical Programming” (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2010): 3233—3257. doi:10.1142/9789814324359_0187. Архивирано из оригинала (PDF) на датум 11. 8. 2017. Приступљено 5. 4. 2017. 
  3. ^ McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, стр. 130, ISBN 0-7637-2250-2 .
  4. ^ Weisstein, Eric W. „Concave”. MathWorld. 
  5. ^ Takayama, Akira (1994), Analytical Methods in Economics, University of Michigan Press, стр. 54, ISBN 9780472081356, »An often seen confusion is a "concave set". Concave and convex functions designate certain classes of functions, not of sets, whereas a convex set designates a certain class of sets, and not a class of functions. A "concave set" confuses sets with functions.« 
  6. ^ Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009), An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics, Princeton University Press, стр. 347, ISBN 9781400833085, »There is no such thing as a concave set.« 
  7. ^ Meyer, Robert (1970), „The validity of a family of optimization methods” (PDF), SIAM Journal on Control and Optimization, 8: 41—54, MR 0312915 .

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]