Multivarijantna normalna raspodela

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Multivarijantna normalna raspodela
Funkcija gustine verovatnoće
MultivariateNormal.png
Mnogštvo uzoraka sa multivarijantnom normalnom distribucijom sa i , prikazani zajedno sa 3-sigma elipse, dve marginalne distribucije, i dva 1-d histograma.
Notacija
ParametriμRklokacija
ΣRk × kkovarijansa (pozitivna poludefinitivna matrica)
Nositeljxμ + span(Σ) ⊆ Rk
PDF
postoji samo kad je Σ positivna-definitivna
Prosekμ
Modusμ
VarijansaΣ
Entropija
MGF
CF
Kulbek-Lajblerova divergencijapogledajte ispod

U teoriji verovatnoće i statistici, multivarijantna normalna raspodela, multivarijantna Gausova raspodela, ili zajednička normalna raspodela je generalizacija jednodimenzionalne (univarijantne) normalne distribucije na više dimenzija. Jedna definicija je da se randomni vektor smatra k-varijantno normalno distribuiranim ako svaka linearna kombinacija njegovih k komponenata ima univarijantnu normalnu distribuciju. Njen značaj proističe uglavnom iz multivarijantne centralne granične teoreme. Multivarijantna normalna distribucija često se koristi za opisivanje, barem aproksimativno, bilo kojeg skupa (mogućih) korelisanih realno-vrednosnih radomnih promenljivih, od kojih se svaka grupiše oko srednje vrednosti.

Notacija i parametrizacija[уреди]

Multivarijantna normalna distribucija k-dimenzionalnog randomnog vektora može se zapisati na sledeći način:

ili da se naglasi da je X k-dimenziono,

sa k-dimenzionim srednjim vektorom

i kovarijantnom matricom

takvom da Inverzna matrica kovarijantne matrice se zove matrica preciznosti i označava se sa .

Definicije[уреди]

Standardni normalni randomni vektor[уреди]

Realni randomni vektor se zove standardni normalni randomni vektor ako su sve njegove komponente nezavisne i svaka je normalno distribuirana randomna promenljiva sa nultom srednjom vrednosti i jediničnom varijansom, i.e. ako za svako .[1]:p. 454

Centrirani normalni randomni vektor[уреди]

Realni randomni vektor se zove centrirani normalni randomni vektor ako postoji deterministička matrica takva da ima istu distribuciju kao gde je standardni normalni randomni vektor sa komponenata.[1]:p. 454

Normalni randomni vektor[уреди]

Realni randomni vektor se zove normalni randomni vektor ako postoji randomni -vektor , koji je standardni normalni randomni vektor, -vektor , i matrica , takva da je .[2]:p. 454[1]:p. 455

Formalno:

Kovarijantna matrica je .

U degenerativnom slučaju gde je kovarijantna matrica singularna, korespondirajuća distribucija nema gustinu. Ovaj slučaj se često pojavljuje u statistici; na primer, u raspodeli vektora reziduala u regresiji običnih najmanjih kvadrata. Takođe treba imati na umu da uglavnom nisu nezavisni; oni se mogu videti kao rezultat primene matrice na kolekciju nezavisnih Gausovih promenljivih .

Ekvivalentne definicije[уреди]

Sledeće definicije su ekvivalentne sa gornjom definicijom. Randomni vektor ima multivarijatnu normalnu distribuciju ako zadovoljava jedan od sledećih uslova.

  • Svaka linearna kombinacija njegovih komponenti je normalno distribuirana. Drugim rečima, za svaki konstantni vektor , randomna promenljiva ima univarijatnu normalnu distribuciju, gde je univarijatna normalna distribucija sa nultom varijansom tačka mase na svojoj srednjoj vrednosti.
  • Postoji k-vektor i simetrična, pozitivna poludefinitivna matrica , takva da karakteristična funkcija od je

Sferina normalna distribucija može da bude karakterisana kao jedinstvena distribucija, pri čemu su komponente nezavisne u svakom ortogonalnom koordinatnom sistemu.[3][4]

Reference[уреди]

  1. 1,0 1,1 1,2 Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5. 
  2. ^ Gut, Allan (2009). An Intermediate Course in Probability. Springer. ISBN 978-1-441-90161-3. 
  3. ^ Kac, M. (1939). „On a characterization of the normal distribution”. American Journal of Mathematics. 61 (3): 726—728. JSTOR 2371328. doi:10.2307/2371328. 
  4. ^ Sinz, Fabian; Gerwinn, Sebastian; Bethge, Matthias (2009). „Characterization of the p-generalized normal distribution”. Journal of Multivariate Analysis. 100 (5): 817—820. doi:10.1016/j.jmva.2008.07.006. 

Literatura[уреди]

  • Rencher, A.C. (1995). Methods of Multivariate Analysis. New York: Wiley. 
  • Tong, Y. L. (1990). The multivariate normal distribution. Springer Series in Statistics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4613-9657-4. doi:10.1007/978-1-4613-9655-0. 

Spoljašnje veze[уреди]