Problem dva tela

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Dva nebeska tela sličnih masa okreću se oko zajedničkog baricentra (centra mase) s eliptičnim putanjama (tipično za dvojne zvezde).
Baricentar, težište ili središte mase, u astronomiji je tačka oko koje se kreću tela dvojnog ili višestrukog sistema. Na slici je sličan sistem kao Sunce - Zemlja.
Baricentar sistema Zemlje i Meseca nalazi se unutar Zemljine površine na udaljenosti 4670 km od središta. Ta se tačka sistema, a ne središte Zemlje, kreće po eliptičnoj stazi oko Sunca.
Dva nebeska tela različitih masa okreću se oko zajedničkog baricentra (centra mase). Na slici je sličan sistem kao Pluton - Haron.

Problem dva tela, ili tаčnije rečeno gravitacijski problem dva tela, osnova je nebeske mehanike. Primenjuje se kod kretanja planeta oko Sunca, kretanja prirodnih satelita, te dvojnih zvezda. Kod proučavanja Njutnovog zakona gravitacije (opšteg zakona gravitacije) prećutno se drži da je masa satelita zanemariva u odnosu na masu središnjeg tela (m ≪ M). Takvo kretanje može se razmatrati kao problem jednog tela, a njegovo tumačenje je, svakako, najjednostavnije. Pretpostavka nije ispunjena već u sistemu Zemlje i Meseca. Iako Mesec ima 81 put manju masu nego Zemlja, njegov je uticaj na kretanje Zemlje oko Sunca merljiv. Problem dva tela je proučavanje kretanja u sistemu dva tela ako odnos njihovih masa nije beskonačan ili jednak nuli. Kod problema dva tela tačno vrede Keplerovi zakoni.

Problem tri tela u nebeskoj mehanici, za razliku od problema dva tela, nema opšte analitičko rešenje. Ograničeni oblik problema razmatra kretanje tri tela, s time da je treće telo tačkasto i bez mase. Za treće je telo Žozef Luj Lagranž našao da može neporemećeno da opstane u sistemu, na položaju 5 tačaka u ravni u kojoj se sva tela kreću (Lagranžove tačke). Potvrda je toga postojanje Trojanskih planetoida, koji se nalaze na Jupiterovoj stazi, 60° ispred i iza Jupitera, a slično se ponašaju i neki planetni sateliti. Kako u Sunčevom sistemu ima mnogo tela, ustanovljeno je da je staza svakoga tela poremećena ostalim telima, i to tim jače što je telo manje mase. Zato su Keplerovi zakoni samo približni. Otkloni su mali jedino zbog toga što su mase svih tela mnogo manje od Sunčeve. Nakon Isaka Njutna, nebeska mehanika razvijala se u matematičkoj obradi poremećaja (perturbacija), kao otklona od matematičkog rešenja problema dva tela, što zapravo znači otklon od elipse. Budući da su poremećaji mali, koristi se elipsa kojoj se parametri postupno menjaju; trenutna se elipsa naziva oskulirajućom. Diferencijalne jednačine[1] koje izražavaju vremenske promene svih parametara elipse izveo je Žozef Luj Lagranž (Lagranžove planetarne jednačine); one su tačne (egzaktne), ali mogu se rešiti jedino numerički, uzastopnim približavanjima (sukcesivnim aproksimacijama), i to za ograničeno vremensko razdoblje.[2]

Dva nebeska tela različitih masa[уреди]

U najjednostavnijem slučaju dva se tela kreću koncentričnim kružnicama. Centripetalno ubrzanje uzrokovano je gravitacionom silom. Sila između masa M1 i M2 uzajamna je i jednaka:

Ubrzanje jednog tela je:

a ubrzanje drugog tela je:

Svako pojedino ubrzanje određeno je masom onog drugog tela. Sila između tela je stalna i oba su ubrzanja stalna, ako je razmak tela r stalan, što je ispunjeno kod koncentričnih kružnih staza, pa je tada i brzina svakog tela stalna. Tela u jednako vreme obiđu svako po svojoj kružnici. Kada toga ne bi bilo, jednom bi se tela susrela na bližim delovima staza, drugi put na udaljenijim, pa ni sila ne bi bila stalna. Zato se tela moraju uvek nalaziti na dijametralno suprotnim tačkama svojih staza i zbir poluprečknika staza jednak je razmaku tela:

A kako tela obiđu staze u isto vreme, ophodne brzine su u istom odnosu u kojemu su obimi ili poluprečnici staza:

Izjednačavanjem centripetalnih ubrzanja za svako telo s ubrzanjem gravitacijske sile, tako da je brzina izražena poluprečnikom i periodom ophoda staze P, dobija se:

Odnos desnih jednakosti iskazuje veoma važnu činjenicu:

Razmak tela od zajedničkog centra kruženja obrnuto je srazmeran masama tih tela. To je svojstvo koje pokazuje centar mase ili težište nekog sistema masa. Kada se neko složeno telo nalazi u gravitacijskom polju, kretanje tog tela kao celine odvija se kao da je sva masa postavljena u centar mase. U slučaju svemirskog sistema sastavljenog od dva tela njihov će zajednički centar mase ili mirovati, ili će se kretati jednoliko po pravcu (ako na njega ne deluju sile drugih nebeskih tela). Sama tela će obilaziti oko centra mase. Spojnica dva tela uvek prelazi preko centra mase i ubrzanje je usmereno prema njemu. Lako se može osvedočiti da će sa povećanjem jedne mase na račun druge, centar mase stremiti prema većoj masi. Ubrzanje prvog tela postaje beznačajno, ako je masa drugog tela zanemariva prema masi prvog tela. To je bilo približenje (aproksimacija) učinjeno u problemu jednog tela. Tada se prvo telo, kao da je beskonačne mase, nalazilo u središtu kruženja. Tako se Sunce zamišlja u središtu kruženja planeta, a planete u središtu kruženja njihovih satelita.

Zbog relativno velike Mesečeve mase, Zemlja ne obilazi oko Sunca po elipsi. Oko Sunca po elipsi ustvari putuje baricentar (centar mase) sistema Zemlja - Mesec, a ne centar Zemlje. Ni Mesečeva staza oko Sunca nije elipsa, ali Mesec na stazi nikada ne čini petlje (iako se tako crta na malim crtežima); štaviše, staza mu nikada nije izbočena (konveksna) prema Suncu.

Ako zvezda ima tamnog pratioca (planetu velike mase), tada se u vlastitom kretanju zvezde mora javiti uticaj tog pratioca. Put zvezde će da krivuda oko linije kojom se kreće centar mase (baricentar).[3]

U trenutku prve četvrtine Zemlja prethodi centru mase (baricentar), a Mesec zaostaje; u trenutku poslednje četvrtine Zemlja zaostaje na stazi za centrom mase, a Mesec mu prethodi.

Treći Keplerov zakon za sistem dve mase[уреди]

Treba sabrati izraze za ubrzanje prvog i drugog tela, i to njihove desne jednakosti, ali tako da se uvede zbir poluprečnika (r1 + r2 = r):

Proizlazi:

U konstanti trećeg Keplerova zakona nalazi se ukupna masa dvojnog sistema.

U uopštenijem slučaju, tela se kretaću po eliptičnim stazama. Pritom su ispunjeni neki geometrijski uslovi. Ekscentricitet obe staze je jednak, smer velikih poluosa se podudara, a tela su na stazama uvek dijametralno suprotno onom žarištu u kojem je centar mase. Kod koncentričnih kružnica koje su razmatrane pre, razmak tela ima istu ulogu koju kod eliptičnih staza ima srednji razmak (zbir velikih poluosa), dok brzina po putanji ima ulogu srednje brzine.

Reference[уреди]

  1. ^ Betounes, David (2001). Differential Equations. Springer. ISBN 978-0-387-95140-9. 
  2. ^ Nebeska mehanika, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.
  3. ^ Vladis Vujnović : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]