Rešavanje jednačina

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Primer korišćenja Njutn-Rafsonove metode za rešavanje jednačine ili ekvivalentno, za pronalaženje korena od f (kada je prikazana funkcija f). Njutn-Rafsonova metoda je postupak za nalaženje numeričkog rešenja.[1][2]
Kvadratna formula je simboličko rešenje kvadratne jednačine ax2+bx+c=0.[3] Upotrebom poznatih vrednosti koeficijenata a,b,c i izračunavanjem nalaze se numerička rešenja jednačine.[4][5][6][7]

U matematici, rešavanje jednačina je nalaženje njihovih rešenja, koja su vrednosti (brojevi, funkcije, skupovi, itd.) koje zadovoljavaju uslove navedene jednačinom, koja se generalno sastoji od dva izraza povezana znakom jednakosti. Kada se traži rešenje, jedna ili više slobodnih promenljivih se označavaju kao nepoznate. Rešenje je dodeljivanje izraza nepoznatim promenljivama, uz održavanje tačnosti jednačina. Drugim rečima, rešenje je izraz ili kolekcija izraza (jedan za svaku nepoznatu) tako da, kada se supstituišu nepoznate, jednačina postane identitet. Rešenje jednačine često se naziva i koren jednačine, posebno, mada ne samo, za algebarske ili numeričke jednačine.

Problem rešavanja jednačine može biti numerički ili simbolički. Rešavanje jednačine numerički znači da se kao rešenja prihvataju samo brojevi koji su eksplicitno predstavljeni kao numerali (a ne kao izrazi koji sadrže promenljive). Rešavanje jednačine simbolički znači da se izrazi koji mogu sadržavati poznate promenljive ili eventualno i promenljive koje nisu u originalnoj jednačini prihvataju kao rešenja.

Na primer, jednačina x + y = 2x – 1 je rešena za nepoznato x rešenjem x = y + 1, jer zamenjivanjem y + 1 za x u jednačini rezultira u (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, istinitim izrazom. Moguće je i da se uzme promenljiva y za nepoznatu, u kom slučaju je jednačina je rešena sa y = x – 1. Ili se x i y mogu tretirati kao nepoznate, u kom slučaju postoji mnogo rešenja jednačine. (x, y) = (a + 1, a) je simbolično rešenje. Instanciranje simboličkog rešenja sa specifičnim brojevima uvek daje numeričko rešenje; na primer, a = 0 daje (x, y) = (1, 0) (to jest, x = 1 i y = 0), a a = 1 daje (x, y) = (2, 1). Razlika između poznatih i nepoznatih promenljivih je data u definiciji problema, a ne u jednačini. Međutim, u nekim oblastima matematike konvencija je da se rezervišu neke promenljive kao poznate, a druge kao nepoznate. Pri pisanju polinoma, koeficijenti se obično smatraju poznatim, a promenljive su nepoznate, mada u zavisnosti od problema, sve promenljive mogu poprimiti bilo koju od uloga.

U zavisnosti od problema, zadatak može biti pronalaženje bilo kog rešenja (dovoljno je pronalaženje jednog rešenja) ili svih rešenja. Set svih rešenja naziva se skup rešenja. U gornjem primeru, rešenje (x, y) = (a + 1, a) je takođe parametrizacija skupa rešenja sa parametrom a.[8][9] Moguće je i da je zadatak da se nađe rešenje, među mnogim mogućim, koje je u nekom pogledu najbolje; problemi te prirode se nazivaju problemima optimizacije; rešavanje optimizacionih problema se uglavnom ne naziva „rešavanjem jednačina”.[10][11]

Formulacija poput „jednačina od x i y”, ili „rešiti za x i y”, podrazumeva da su nepoznate naznačene: u ovim slučajevima x i y.

Pregled[уреди | уреди извор]

U opštem slučaju postoji situacija kao što je

ƒ(x1,...,xn) = c,

gde su x1,...,xn nepoznate promenljive, a c je konstanta. Rešenja su članovi inverznog prikaza[12][13]

ƒ −1[c] = {(a1,...,an) ∈ T1×···×Tn | ƒ(a1,...,an) = c},

gde je T1×···×Tn domen funkcije ƒ. Skup rešenja može biti prazan skup (nema rešenja), singlton (postoji tačno jedno rešenje), konačan ili beskonačan (postoji beskonačno mnogo rešenja).

Na primer, jednačina kao što je

3x + 2y = 21z

sa nepoznatim promenljivama x, y i z, može se rešiti tako što će se prvo promeniti jednačina na neki način, zadržavajući je u ekvivalentnom obliku, kao što je oduzimanje 21z sa obe strane jednačine da bi se dobilo

3x + 2y − 21z = 0

U ovom konkretnom slučaju ne postoji samo jedno rešenje ove jednačine, već je beskonačni skup rešenja, koji se može napisati

{(x, y, z) | 3x + 2y − 21z = 0}.

Jedno određeno rešenje je x = 0, y = 0, z = 0. Druga dva rešenja su x = 3, y = 6, z = 1, i x = 8, y = 9, z = 2. Zapravo, ovoj specifični skup rešenja opisuje ravan u trodimenzionalnom prostoru, koja prolazi kroz tri tačke sa tim koordinatama.

Vidi još[уреди | уреди извор]

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Wallis, John (1685). A Treatise of Algebra, both Historical and Practical. Shewing the Original, Progress, and Advancement thereof, from time to time, and by what Steps it hath attained to the Heighth at which it now is. Oxford: Richard Davis. doi:10.3931/e-rara-8842. 
  2. ^ Raphson, Joseph (1697). Analysis Æequationum Universalis seu ad Æequationes Algebraicas Resolvendas Methodus Generalis, & Expedita, Ex nova Infinitarum Serierum Methodo, Deducta ac Demonstrata (на језику: латински) (secunda изд.). London. doi:10.3931/e-rara-13516. 
  3. ^ Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3. 
  4. ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X , Chapter 13 §4.4, p. 291
  5. ^ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
  6. ^ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
  7. ^ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
  8. ^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (fifth изд.). Addison-Wesley. стр. 91. 
  9. ^ Nykamp, Duane. „Plane parametrization example”. mathinsight.org. Приступљено 2017-04-14. 
  10. ^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. стр. 129. ISBN 978-0-521-83378-3. 
  11. ^ Ausiello, Giorgio; et al. (2003), Complexity and Approximation (Corrected изд.), Springer, ISBN 978-3-540-65431-5 
  12. ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the Mathematician. Holden-Day. стр. xix. ASIN B0006BQH7S. 
  13. ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]