Rimanova površina

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Rimanova površina za funkciju f(z) = z. Dve horizontalne ose predstavljaju realni i imaginarni deo z, dok vertikalna osa predstavlja realni deo z. Imaginarni deo z predstavljen je obojenjem tačaka. Za ovu funkciju to je ujedno i visina nakon rotiranja grafa za 180 ° oko vertikalne ose.

U matematici, a posebno u kompleksnoj analizi, Rimanova površina je jednodimenziona kompleksna mnogostrukost. Ove površine je prvi proučavao Bernhard Riman, te po njemu nose ime. Rimanove površine se mogu smatrati deformisanim verzijama kompleksne ravni: lokalno blizu svake tačke izgledaju kao segmenti složene ravni, ali globalna topologija može biti sasvim drugačija. Na primer, one mogu izgledati kao sfera ili torus ili nekoliko listova zalepljenih zajedno.

Glavni interes u Rimanove površine potiče od toga da holomorfne funkcije mogu biti definisane između njih. Rimanove površine se danas smatraju prirodnom postavkom za proučavanje globalnog ponašanja ovih funkcija, posebno multivrednosnih funkcija kao što su kvadratni koren i druge algebarske funkcije ili logaritam.

Svaka Rimanova površina je dvodimenzionalna realna analitička mnogostrukost (tj. površina), ali sadrži više struktura (konkretno kompleksne strukture) koje su potrebne za nedvosmislenu definiciju holomorfnih funkcija. Dvodimenzionalna realna mnogostrukost se može pretvoriti u Rimanovu površinu (obično na nekoliko neekvivalentnih načina) ako i samo ako je ona orijentisana i merljiva. Dakle, sfera i torus prihvataju složene strukture, dok Mebijusova traka, Klejnova boca i realna projektivna ravan to ne čine.

Geometrijske činjenice o Rimanovim površinama su veoma intuitivne, i one su često motivacija za generalizaciju do drugih krivih, mnogostrukosti ili varijeteta. Teorema Riman-Roča je sjajan primer ovog uticaja.

Definicije[уреди | уреди извор]

Postoji nekoliko ekvivalentnih definicija Rimanove površine.

  1. Rimanova površina X je povezana kompleksna mnogostrukost komplesne dimenzije jedan. To znači da je X povezani Hausdorfov prostor koji ima atlas grafikona na otvorenom jediničnom disku kompleksne ravni: za svaku tačku xX postoji susedstvo od x koje je homeomorfno na disku otvorene jedinice kompleksne ravni, i tranzicione mape između dva preklapajuća grafikona moraju biti holomorfne.
  2. Rimanova površina je orijentisana mnogostrukost (realne) dimenzije dva - dvostrana površ - zajedno s konformalnom strukturom. Ponovo, mnogostrukost znači da je lokalno u bilo kojoj tački x iz X, prostor homeomorfan na podskupu realne ravni. Dodatak „Rimanova” označava da X poseduje dodatnu strukturu koja omogućava merenje ugla na mnogostrukosti, naime, ekvivalentnu klasu takozvanih Rimanovih metrika. Dve takve metrike smatraju se ekvivalentnim ako su uglovi koje mere jednaki. Izbor klase ekvivalencije metrika na X je dodatni podatak konformalne strukture.

Kompleksna struktura stvara konformalnu strukturu odabirom standardne Euklidske metrike date na kompleksnoj ravni i prenoseći je u X pomoću grafikona. Teže je pokazati da konformalna struktura određuje kompleksnu strukturu.[1]

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ See (Jost 2006, Ch. 3.11) for the construction of a corresponding complex structure.

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]