Tangentna teorema

Из Википедије, слободне енциклопедије
Sika 1 – Slika 1. Trougao

U trigonometriji, tangentna teorema predstavlja odnos dva ugla trougla i dužine naspramne stranice.


Na slici 1, a, b i c su dužine stranica trougla, a α, β i γ su uglovi naspram te tri stranice. Tangentna teorema glasi:

Iako tangentna teorema nije uobičajeno poznata kao sinusna ili kosinusna teorema, ona je ekvivalentna sinusnoj teoremi i može se koristiti ako su poznate dužine dve stranice i ugao izmedju njih, kao i ako su poznata dva ugla i dužina jedne stranice. Tangentnu teoremu kod sfernih trouglova je opisao, u trinaestom veku, persijski matematičar Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), koji je takođe definisao i sinusnu teoremu trougla.

Dokaz[уреди]

Dokaz da se tangentna teorema može izvesti iz sinusne teoreme:

Neka je:

Tako da je :



Sledi:

Koristeći trigonometrijsku funkciju za transformaciju zbira i razlike u proizvod :

Sledi:

Kao alternativa korišćenju funkcije zbira ili razlike dva sinusa, takođe se može koristiti ova trigonometrijska funkcija:


Primena[уреди]

Pomoću tangentne teoreme se može izračunati nepoznata dužina stranice trougla I uglovi trougla kod kog su dve stranice a I b i ugao između njih poznati. Iz

sledi ; sa , iz ovoga se može izvesti i . Preostala stranica c se može izračunati iz sinusne teoreme. Pre elektronskih kalkulatora, ovaj način izračunavanja se koristio češće nego kosinusna teorema , pošto je ovaj drugi način zahtevao dodatno proveravanje u logaritamskim tablicama, zbog računanja kvadratnog korena.

Vidi još[уреди]

Синусна теорема

Косинусна теорема