Vektorski proizvod

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

U matematici, vektorski proizvod je binarna operacija na dva vektora u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru koja rezultira drugim vektorom koji je ortogonalan na ravan koja sadrži dva početna vektora. Algebra definisana vektorskim proizvodom nije asocijativna, niti komutativna. U suprotnosti je sa skalarnim proizvodom koji daje skalarni rezultat. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima, neophodno je da se konstruiše normalni vektor polazeći od dva postojeća vektora, što omogućava vektorski proizvod. Vektorski proizvod poznat je i pod nazivom Gibsov vektorski proizvod.[1]

Vektorski proizvod je definisan u tri, i u sedam dimenzija. Kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike Euklidovog prostora. Za razliku od skalarnog proizvoda, on takođe zavisi od odabira orjentacije. Određena obeležja vektorskog proizvoda mogu se uopštiti na ostale sitacije. Za proizvoljan odabir orjentacije, vektorski proizvod se ne treba smatrati vektorom, nego pseudovektorom. Za proizvoljne odabire metrike, te u proizvoljnim dimenzijama, vektorski proizvod može se uopštiti preko spoljašnjeg proizvoda vektora.

Ilustracija vektorskog proizvoda preko koordinatnog sistema orjentisanog prema desnoj ruci.

Definicija[уреди]

Određivanje pravca vektorskog proizvoda pomoću pravila desne šake.

Vektorski proizvod dva vektora a i b ima oznaku a × b. U fizici, ponekad se označava kao ab[2] (matematičari ne koriste ovu oznaku, kako bi se izbegla zabuna sa spoljašnjim proizvodom).

U trodimenzionalnom Euklidovom prostoru, sa koordinatim sistemom orjentisanim prema desnoj ruci, a × b je definisan kao vektor c koji je normalan na oba vektora a i b, sa pravdem određenim preko pravilom desne šake, a intenzitetom jednakim površini paralelograma kojeg vektori a i b čine.

Vektorski proizvod je definisan preko formule

gde je θ mera manjeg ugla između a i b (0° ≤ θ ≤ 180°), a i b su intenziteti vektora a i b, a je jedinični vektor ortogonalan na ravan koja sadrži a i b. Ako su vektori a i b kolinearni (ako je ugao θ između njih 0° ili 180°), preko gornje formule, vektorski proizvod vektora a i b je nulti vektor 0.

Pravac vektora je dat preko pravila desne šake, gde kažiprst pokazuje pravac prvog vektora a, a srednji prost pokazuje pravac vektora b. Tada, vektor izlazi iz palca (pogledajte sliku desno). Iz ovog pravila se vidi da je vektorski proizvod antikomutativan, tj., b × a = - (a × b). Ako se prvo usmeri kažiprst u pravcu vektora b, a zatim se usmeri srednji prst u pravcu vektora a, palac će biti okrenut u suprotnom pravcu, menjajući znak proizvoda vektora.

Izračunavanje vektorskog proizvoda[уреди]

Koordinatne oznake[уреди]

Jedinični vektori i, j i k iz datog ortogonalnog koordinatnog sistema zadovoljavaju sledeće jednakosti:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

Zajedno sa antisimetričnosti i bilinearnosti vektorskog proizvoda, ova tri identiteta su dovoljna kako bi se odredio vektorski proizvod bilo koja dva vektora. Također, slijedeći identiteti, takođe, važe

j × i = −k           k × j = −i           i × k = −j
i × i = j × j = k × k = 0.

Sa ovim pravilima, koordinate vektorskog proizvoda dva vektora mogu se lako izračunati, bez određivanja ikakvih uglova: Neka je

a = a1i + a2j + a3k = (a1, a2, a3)

i

b = b1i + b2j + b3k = (b1, b2, b3).

Vektorski proizvod može se izračunati preko distributivnog vektorskog množenja:

a × b = (a1i + a2j + a3k) × (b1i + b2j + b3k)
a × b = a1i × (b1i + b2j + b3k) + a2j × (b1i + b2j + b3k) + a3k × (b1i + b2j + b3k)
a × b = (a1i × b1i) + (a1i × b2j) + (a1i × b3k) + (a2j × b1i) + (a2j × b2j) + (a2j × b3k) + (a3k × b1i) + (a3k × b2j) + (a3k × b3k).

Pošto je skalarno množenje komutativno sa vektorskim množenjem, desna strana može se regrupisati kao

a × b = a1b1(i × i) + a1b2(i × j) + a1b3(i × k) + a2b1(j × i) + a2b2(j × j) + a2b3(j × k) + a3b1(k × i) + a3b2(k × j) + a3b3(k × k).

Ova jednačina je suma devet jednostavnih vektorskih proizvoda. Nakon što se sve izmnoži korišteći osnovne relacije vektorskog proizvoda između jediničnih vektora i, j i k, definisanih iznad,

a × b = a1b1(0) + a1b2(k) + a1b3(−j) + a2b1(−k) + a2b2(0) + a2b3(i) + a3b1(j) + a3b2(−i) + a3b3(0).

Ova jednačina može se faktorisana u oblik

a × b = (a2b3a3b2) i + (a3b1a1b3) j + (a1b2a2b1) k = (a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1).

Osobine[уреди]

Geometrijsko značenje[уреди]

Slika 1: Površina paralelograma kao vektorski proizvod.
Slika 2: Zapremina paralelopipeda dobija se mešovitim proizvodom (kombinacija vektorskog i skalarnog proizvoda) tri vektora; isprekidane linije pokazuju projekciju c na a × b, te projekciju a na b × c, prvi korak u računanju skalarnog proizvoda.

Intenzitet vektorskog proizvoda može se interpretirati kao pozitivna površina paralelograma sa a i b kao njegovim stranicama (pogledajte Sliku 1):

Takođe, moguće je izračunati zapreminu V paralelepipeda, koji ima vektore a, b i c kao svoje stranice, korištenjem kombinacije vektorskog i skalarnog proizvoda, koji se naziva mešoviti proizvod (pogledajte Sliku 2):

Slika 2 pokazuje da se ova zapremina može izračunati na dva načina, pokazujući geometrijski da ovaj identitet važi i kada se redosled operacija promeni. To jest, vredi da je:

Algebarske osobine[уреди]

Vektorski proizvod je antikomutativan,

a × b = −b × a,

distributivan kod sabiranja,

a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

i kompatibilan sa skalarnim množenjem, tako da je

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b).

Nije asocijativan, ali zadovoljava Jakobijev identitet:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Vektorski proizvod ne podleže osobini poništavanja:

Ako je a × b = a × c i a0, tada je:
(a × b) − (a × c) = 0 i, po zakonu distribucije iznad:
a × (bc) = 0
Sad, ako je a paralelan sa (bc), tada, čak i ako je a0, moguće je da je (bc) ≠ 0, te se dobija da je bc.

Međutim, ako su i a · b = a · c i a × b = a × c, tada se može zaključiti da je b = c. Uistinu,

a . (b - c) = 0, i
a × (b - c) = 0

tako da je b - c i paralelno i normalno na nenulti vektor a. Ovo je jedino moguće ako je b - c = 0.

Distributivnost, linearnost i Jakobijev identitet pokazuju da R3 zajedno sa sabiranjem vektora i vektorskim proizvodom formira Lijeovu algebru.

Dva vektora a and b, različita od nule, su paralelna ako i samo ako je a × b = 0.

Vidi još[уреди]

Reference[уреди]

  1. ^ Zill, Dennis G.; Cullen, Michael R. (2006). „Definition 7.4: Cross product of two vectors”. Advanced engineering mathematics (3rd изд.). Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-4591-2. 
  2. ^ Jeffreys, H; Jeffreys, BS (1999). Methods of mathematical physics. Paragraph 2.7. Cambridge University Press. 

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]