Угао

Уколико сте тражили село у општини Сјеница, погледајте чланак Угао (Сјеница).

Пример угла, оштар угао

Угао је део равни оивичен са две полуправе које имају заједнички почетак.

Угао затварају две полуправе a и b (зраке) које исходе из једне тачке T. Полуправе које затварају угао називају се крацима угла, а тачка из које исходе је његово теме. Када краци угла чине једну праву угао се назива испруженим или равним.

Врсте углова

Оштар угао је мањи од правог угла(има мање од 90 степени)

Прав угао је једнак (конгруентан) свом суплементном углу. Прав угао износи 90° (степени), тј. ${\frac {\pi }{2}}$ (радијана). Праве носиоци кракова правог угла називају се нормалне праве.

Туп угао већи од правог угла и мањи од опруженог угла.(има више од 90 степени и мање од 180 степени)

Oпружен угао је угао чији краци образују праву. (има 180° (степени), тј. $\pi \,$ (радијана)).

Конвексан угао је име којим се означавају оштар, прав, туп и испружен угао, мада у суштини је и пун и нул угао конвексан.

Конкаван угао већи од испруженог и мањи од пуног угла. Као гранични случај уводе се и Пун угао код којег се краци поклапају и унутрашња област са крацима покрива целу раван, има 360° (степени), тј. $2\pi \,$ (радијана). и Нул угао код којег се краци поклапају и унутрашња област је празан скуп. Нул угао је величине 0° (степени), тј. 0 (радијана).

Врсте парова углова

Суседна су два угла која имају заједнички крак, и један има унутрашњу област са једне а други са друге стране заједничког крака.

Напоредна или упоредна су два суседна угла која се допуњавају до испруженог.

Суплементна су два угла (не морају бити суседна) која се допуњавају до испруженог.

Комплементни углови су они који се допуњавају до правог угла.

Углови са паралелним крацима су два угла чији краци леже на паралелним правама. Углови са паралелним крацима су једнаки, ако су која се допуњавају до испруженог. Углови са паралелним крацима могу бити:

    Сагласни углови (Паралелни краци имају исто усмерење. Ови углови су једнаки.)

    Наизменични углови (Паралелни краци имају супротно усмерење. Ови углови су једнаки.)

        Унакрсни углови су специјалан случај наизменичних углова, када им се врхови поклапају

    Супротни углови (Један пар паралелних кракова има исто усмерење, а други пар имај супротно усмерење. Ови углови су суплементни.) Ali unakrstan ugao koliko ima stepeni nikad nam nije poznato jer to moramo izmeriti uglomerom

Углови са нормалним крацима су два угла чији краци леже на нормалним правама. Ови углови ил су једнаки или су суплементни.

На овој слици, a је оштар, b туп, а c опружен угао. a и b су суплементни углови.

У Еуклидској геометрији, комплементни су оштри углови правоуглог троугла.

Углови који настају пресеком две праве у истој равни трећом називају се:

• Сагласни: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8;
• Наизменични:1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6;
• Супротни: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5;
• Напоредни: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.

Особине углова

Углови са паралелним крацима: Нека су $\alpha$ и $\beta$ два конвексна угла неке равни са паралелним крацима.

У овом случају (случај 2.) углови су суплементни.

Тада:

1. Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
2. Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни (тј. збир углова у троуглу је 180°)

Углови са нормалним крацима: Нека су $pOq$ и $p'Oq'$ два конвексна угла неке равни са крацима таквим да је $p\perp p'$ и $q\perp q'$.

Тада:

1. Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
2. Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни

Мерење угла

Мера угла је величина отклона између кракова угла. Ради мерења угла се користи круг чији је центар у темену угла. С обзиром да је обим круга сразмеран полупречнику то је и мера угла независна од величине полупречника. Последица чињенице да је величина угла однос две дужине је да је јединица величине угла бездимензиона.

• Број који се добије као количник дужине лука кружнице и полупречника се назива радијан. У међународном систему мера радијан је изведена јединица. Иако је бездимензиона, ознака постоји и пише се rad.
• Степен је мера угла код кога је пун круг 360 степени, а следствено томе опружени угао је 180 степени, а прав угао је 90 степени. Ознака за степен је мали кружић надписан код величине, рецимо за пун круг 360°. За прецизнија мерења се користи део степена, назива се минут и он износи 1/60 од степена. Ознака за минут је апостроф знак, рецимо за 1 степен је 60'. Постоји још мања мера, секунда. Секунда је 1/60 од минута, односно 1/3600 од степена. Ознака за секунду је двоструки апостроф, односно 1 минут је 60".

Однос између основних јединица мере угла

$2\pi \,{\mbox{rad}}=360^{o}$, пун круг је два пи радијана или 360 степени

$\pi \,{\mbox{rad}}=180^{o}$, пи радијана је 180 степени (често се rad изоставља када је пи у изразу)

${\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=90^{o}$, пи пола радијана је 90 степени

$1\,{\mbox{rad}}={\frac {180^{o}}{\pi }}\approx 57^{o}17'45''\,$, један радијан је 180 кроз пи степени, или приближно 57 степени, 17 минута и 45 секунди

Еуклидове дефиниције

У Еуклидовим Елементима књига I је дато неколико дефиниција:

Дефиниција 8

Угао у равни је отклон једне линије ка другој у равни које се секу и не леже у линији.

Дефиниција 9

Када су линије које чине угао праве и угао је праволинијски.

Дефиниција 10

Када права линија сече праву линију чинећи једнаке суседне углове, сваки од углова је прав угао, а линија која сече другу се зове нормална на ону коју сече.

Дефиниција 11

Туп угао је угао већи од правог угла.

Дефиниција 12

Оштар угао је угао мањи од правог угла.