Лукас број

Лукас бројеви или Лукас редови су цели бројеви редова названи по математичару Франкуису Едуарду Анатолу Лукасу (1842–91), који је проучавао оба та реда и блиско повезане Фибоначијеве бројеве. Лукас бројеви и Фибоначијеви бројеви формирају комплементарне случајеве Лукас редова.

Дефиниција

Слично Фибоначијевим бројевима, сваки Лукас број је дефинисан збиром своја два непосредно претходна термина, чиме се формира Фибоначијев целобројни ред. Прва два Лукас броја су Л₀ = 2 и Л₁ = 1 за разлику од прва два Фибоначијева број Ф₀ = 0 и Ф₁ = 1. Иако уско повезани у дефиницији, Лукас и Фибоначијеви бројеви показују различите особине.

Лукас бројеви могу бити дефинисани на следећи начин:

$L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}$

Ред Лукас бројева је:

$2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\;47,\;76,\;123,\;\ldots \;$(секвенца A000032 у OEIS)OEIS).

Сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду се појављују у облику померања као ред Вајтоф низа;Фибоначијев сам ред је први ред и Лукас ред је други ред. Такође, као сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду, однос између два узастопна Лукас броја конвергира од златног пресека.

Проширење до негативних целих бројева

Користећи Л_н−2 = Л_н − Л_н−1, можемо проширити Лукас бројеве до негативних целих бројева да добијемо двоструки бесконачни низ: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... термини $L_{n}$ за $-5\leq {}n\leq 5$ су показани). Формула за термине са негативним индексом у овом низу је

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!$

Повезаност са Фибоначијевим бројевима

Лукас бројеви су повезани са Фибоначијевим бројевима идентитетима

• $\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
• $\,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
• $\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$, и како се $n\,$ приближава +∞, однос ${\frac {L_{n}}{F_{n}}}$ се приближава ${\sqrt {5}}.$
• $\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$
• $\,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
• $\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}$

Њихова затворена формула је дата као:

$L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,$

где је $\varphi$ такође златни пресек. Алтернативно, како је за $n>1$ величина термина $(-\varphi )^{-n}$ мања од 1/2, $L_{n}$ је најближи цео број броју $\varphi ^{n}$ или, еквивалентно, целобројни део $\varphi ^{n}+1/2$, пише се и као $\lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor$.

Насупрот томе, како Бинетова формула даје:

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,$

имамо:

$\varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.$

Односи подударности

Ако је Ф_н ≥ 5 Фибоначијев број онда ниједан Лукас број није дељив  Ф_н.

Л_н је у складу за 1 мод н ако је н прост број, али неке композитне вредности н-а такође имају ову особину.

Лукас прости бројеви

Лукас прост број је Лукас број који је прост. Првих неколико Лукас простих бројева су -ом

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (секвенца A005479 у OEIS).

За ове нс су

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (секвенца A001606 у OEIS).

Ако је Л_н прост број онда је н или 0, прост, или снага 2. Л_2^м је прост број за м = 1, 2, 3, и 4 и нема више познатих вредности за м.

Лукас полиноми

На исти начин на који су Фибоначијеви полиноми изведени из Фибоначијевих бројева, Лукас полиноми Л_н(x) су полиноми реда изведени из Лукас бројева.

Види и

• Главни Фибоначи

Спољашњи линкови

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Lucas polynomials", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Lucas Number", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Lucas Polynomial", MathWorld.
• Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• (sequence A000032 in OEIS) Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.