Бернулијеви бројеви

Бернулијеви бројеви $B_{k}$ представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:

$S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k}}B_{k}\;n^{m+1-k}$

Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{6}}$	0	$-{\frac {1}{30}}$	0	${\frac {1}{42}}$	0	$-{\frac {1}{30}}$	0	${\frac {5}{66}}$	0	$-{\frac {691}{2\;730}}$	0	${\frac {7}{6}}$

Генерирајућа функција

${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{2}}\,x+{\frac {1}{6}}\,{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {1}{42}}\,{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{8}}{8!}}+{\frac {5}{66}}\,{\frac {x^{10}}{10!}}+\ldots$

за $|x|<\pi$

Рекурзивна формула

$\displaystyle {B_{0}=1\;,}$

$B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose {k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .$

Својства

Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:

$\sum \limits _{a\leq k<b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\ +\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R(f,m).$

Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција:

• $x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi$
• $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.$

Одатле следи:

$\displaystyle {B_{n}=-n\zeta (1-n)}\;\;$ за све n.

Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Бернулијеви бројеви