Парабола — разлика између измена

С Википедије, слободне енциклопедије
Садржај обрисан Садржај додат
.
Ред 1: Ред 1:
{{rut}}{{short description|Plane curve: conic section}}
{{short description|Крива у равни: конусни пресек}}
: ''За стилску фигуру, погледајте [[Парабола (књижевност)]]''
: ''За стилску фигуру, погледајте [[Парабола (књижевност)]]''
[[File:Parts of Parabola.svg|thumb|right|upright=1.36|Part of a parabola (blue), with various features (other colours). The complete parabola has no endpoints. In this orientation, it extends infinitely to the left, right, and upward.]]
[[Датотека:Parts of Parabola.svg|thumb|right|upright=1.36|Део параболе (плаво обојене), са разним карактеристикама (у другим бојама). Комплетна парабола нема крајње тачке. У овој оријентацији се протеже бескрајно улево, удесно и нагоре.]]
[[File:Conic Sections.svg|thumb|The parabola is a member of the family of [[conic section]]s.]]
[[Датотека:Conic Sections.svg|thumb|Парабола је члан породице [[Конусни пресекконусних пресека]].]]
[[Датотека:Parabola.svg|мини|Парабола]]


'''Парабола''' ([[Старогрчки језик|старогрч.]] ''παραβολή'', поређење) је [[крива у равни]], која може да се представи као [[конусни пресек]] створен пресеком [[раван|равни]] са [[прав кружни конус|правим кружним конусом]], при чему је раван паралелна са [[Изводница конуса|изводницом конуса]]. Парабола се може дефинисати и као геометријско место тачака у равни које су једнако удаљене од тачке (фокуса) и дате праве (директрисе).
'''Парабола''' ([[Старогрчки језик|старогрч.]] ''παραβολή'', поређење) је [[крива у равни]], која може да се представи као [[конусни пресек]] створен пресеком [[раван|равни]] са [[прав кружни конус|правим кружним конусом]], при чему је раван паралелна са [[Изводница конуса|изводницом конуса]]. Парабола се може дефинисати и као геометријско место тачака у равни које су једнако удаљене од тачке (фокуса) и дате праве (директрисе).


One description of a parabola involves a [[Point (geometry)|point]] (the [[Focus (geometry)|focus]]) and a [[Line (geometry)|line]] (the [[Directrix (conic section)|directrix]]). The focus does not lie on the directrix. The parabola is the [[locus (mathematics)|locus of points]] in that plane that are [[equidistant]] from both the directrix and the focus. Another description of a parabola is as a [[conic section]], created from the intersection of a right circular [[conical surface]] and a [[plane (geometry)|plane]] [[Parallel (geometry)|parallel]] to another plane that is [[tangent]]ial to the conical surface.{{efn|The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.}}
Један опис параболе обухвата [[Point (geometry)|тачку]] ([[Фокус (оптика)|фокус]]) и [[Line (geometry)|линију]] ([[Конусни пресек|директоријум]]). Фокус не лежи на директриси. Парабола је [[геометријско место тачака]] у тој равни које су [[equidistant|једнако удаљене]] и од директрисе и од фокуса. Алтернативни опис параболе је као [[conic section|конусни пресек]], створен од пресека десне кружне [[conical surface|конусне површине]] и [[plane (geometry)|равни]] [[Паралелност (геометрија)|паралелне]] другој равни која је [[Тангента|тангенцијална]] конусној површини.{{efn|The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.}}

The line perpendicular to the directrix and passing through the focus (that is, the line that splits the parabola through the middle) is called the "[[axis of symmetry]]". The point where the parabola intersects its axis of symmetry is called the "[[vertex (curve)|vertex]]" and is the point where the parabola is most sharply curved. The distance between the vertex and the focus, measured along the axis of symmetry, is the "focal length". The "[[Conic section#Conic parameters|latus rectum]]" is the [[Chord (geometry)|chord]] of the parabola that is parallel to the directrix and passes through the focus. Parabolas can open up, down, left, right, or in some other arbitrary direction. Any parabola can be repositioned and rescaled to fit exactly on any other parabola—that is, all parabolas are geometrically [[Similarity (geometry)|similar]].

Parabolas have the property that, if they are made of material that [[Reflection (physics)|reflects]] [[light]], then light that travels parallel to the axis of symmetry of a parabola and strikes its concave side is reflected to its focus, regardless of where on the parabola the reflection occurs. Conversely, light that originates from a point source at the focus is reflected into a parallel ("[[collimated]]") beam, leaving the parabola parallel to the axis of symmetry. The same effects occur with [[sound]] and other waves. This reflective property is the basis of many practical uses of parabolas. The parabola has many important applications, from a [[parabolic antenna]] or [[parabolic microphone]] to automobile headlight reflectors and the design of [[ballistic missiles]]. They are frequently used in [[physics]], [[engineering]], and many other areas.


У Декартовим координатама, парабола са осом паралелном са осом ''y'', врхом у (''-{h}-'', ''-{k}-''), са фокусом у (''-{h}-'', ''-{k}-'' + ''-{p}-'') и директрисом ''y'' = ''-{k}-'' - ''-{p}-'', где је ''-{p}-'' растојање од врха до фокуса, описује се једначином:
У Декартовим координатама, парабола са осом паралелном са осом ''y'', врхом у (''-{h}-'', ''-{k}-''), са фокусом у (''-{h}-'', ''-{k}-'' + ''-{p}-'') и директрисом ''y'' = ''-{k}-'' - ''-{p}-'', где је ''-{p}-'' растојање од врха до фокуса, описује се једначином:
Ред 21: Ред 16:
:<math>(y - k)^2 = 4p(x - h) \,</math>
:<math>(y - k)^2 = 4p(x - h) \,</math>


Још општије, парабола је крива у [[Декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]] дефинисана [[Несводљиви полином|несводљивом]] једначином облика
Још општије, парабола је крива у [[Декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]] дефинисана [[Несводљиви полином|несводљивом]]<ref>{{Citation |last=Gallian |first=Joseph |author-link=Joseph Gallian |year=2012 |title=Contemporary Abstract Algebra |edition=8th |publisher=Cengage Learning |isbn=978-1285402734 |url=https://books.google.com/books?id=Ef4KAAAAQBAJ&q=%22reducible+polynomial%22&pg=PA311 }}</ref><ref>{{citation | first1 = Rudolf | last1 = Lidl | first2 = Harald | last2 = Niederreiter | author2-link = Harald Niederreiter | title = Finite fields | edition = 2nd | publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 1997 | isbn = 978-0-521-39231-0 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3 }}, [https://books.google.ca/books?id=xqMqxQTFUkMC&pg=PA91 pp. 91].</ref><ref>{{Citation |last1=Mac Lane |first1=Saunders | author-link=Saunders Mac Lane |last2=Birkhoff |first2=Garrett |author-link2=Garrett Birkhoff |year=1999 |title=Algebra |edition=3rd |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821816462 |url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&q=reducible&pg=PA268 }}</ref> једначином облика


:<math> A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,</math>
:<math> A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,</math>

Верзија на датум 24. фебруар 2021. у 03:03

За стилску фигуру, погледајте Парабола (књижевност)
Део параболе (плаво обојене), са разним карактеристикама (у другим бојама). Комплетна парабола нема крајње тачке. У овој оријентацији се протеже бескрајно улево, удесно и нагоре.
Парабола је члан породице Конусни пресекконусних пресека.

Парабола (старогрч. παραβολή, поређење) је крива у равни, која може да се представи као конусни пресек створен пресеком равни са правим кружним конусом, при чему је раван паралелна са изводницом конуса. Парабола се може дефинисати и као геометријско место тачака у равни које су једнако удаљене од тачке (фокуса) и дате праве (директрисе).

Један опис параболе обухвата тачку (фокус) и линију (директоријум). Фокус не лежи на директриси. Парабола је геометријско место тачака у тој равни које су једнако удаљене и од директрисе и од фокуса. Алтернативни опис параболе је као конусни пресек, створен од пресека десне кружне конусне површине и равни паралелне другој равни која је тангенцијална конусној површини.[а]

У Декартовим координатама, парабола са осом паралелном са осом y, врхом у (h, k), са фокусом у (h, k + p) и директрисом y = k - p, где је p растојање од врха до фокуса, описује се једначином:

а парабола са осом паралелном са осом x једначином

Још општије, парабола је крива у Декартовом координатном систему дефинисана несводљивом[1][2][3] једначином облика

где је , сви коефицијенти су реални бројеви, , , и где постоји више од једног решења које дефинише тачке параболе (x, y).

Особине

Парабола је осно симетрична. Оса симетрије пролази фокусом параболе и окомита је на директрису. Ротацијом параболе око њене осе симетрије настаје параболоид.

За параболу се каже да је у нормалном положају, када је њена оса паралелна с осом или .

Парабола се може дефинисати као конусни пресек с нагибом који је једнак један. Из тог произилази, да су све параболе сличне.[4][5] Парабола се може шватити као граница низа елипсе, у којој је једнан од фокуса стационаран, а други се постепено удаљава до бесконачности.

Математички записи

Имплицитни запис

Скуп свих тачака X у равни, које имају исту удаљеност од фокуса F и од директрисе d, која не пролази фокусом F.

Декартов координатни систем

Стандардни опис параболе:

Парабола у декартовом координатном систему

V[m, n] – врх параболе са координатама m, n
F – фокус параболе
d – директриса
o – оса парабола
– величина параметра,

X[x, y] – произвољна тачка која припада параболи


Канонски облик једначине

Канонски (нормални) облик једначине параболе у нормалном положају (оса параболе је паралелна са осом те за врх параболе ) вреди

За парабола је отворена десно, а за парабола је отворена лево. За добија се парабола с врхом у координатном почетку.

Фокус тако задане параболе има координате

а директриса је описана једначином

Канонски облик једначине параболе с осом у координатној оси и врхом у координатном почетку се може записати као

За парабола је отворена према горе, а за отворена је према доле.

Једначина конусног пресека

Ако се у једначини конусног пресека уврсти и , добија се парабола у нормалном положају (оса параболе је паралелна с осом ),[6] која има дисектрису

фокус има координате

а координате врха су

Параметар има вредност

Слично у случају и добија се парабола у нормалном положају (оса параболе је паралелна с осом ). За директрису, фокус, врх и параметар добија асе

Парабола се из општег до нормалног положаја може превести ротацијом координатног система о угао датог изразом

Карактеристике параболе у односу на њен положај
  • Оса параболе je paralelna s osom имајући минимум (тачка V) на оси .
Парабола у Декартовом координатном систему усмерена ка позитивном делу осе x
Темена једначина:
Параметарска једначина:

Ошшта једначина:
Једначина директрисе:
Једначина тангенте у тачки :

Оса параболе је паралелна са осом имајући максимум (тачка V) на оси .

Парабола у Декартовом координатном систему усмерена ка негативном делу осе x
Темена једначина:
Параметарска једначина:

Општа једначина:
Једначина директрисе:
Jедначина тангенте у тачки :
  • Оса параболе је паралелна са осом имајући минимум. Конвексна парабола.
Парабола у Декартовом координатном систему усмерена ка позитивном делу y
Темена једначина:
Параметарска једначина:

Општа једначина:
Једначина директрисе:
Једначина тангенте у тачки :
  • Оса параболе је паралелна с осом имајући максимум. Конкавна парабола.
Парабола у Декартовом координатном систему усмерена ка позитивном делу y
Темена једначина:
Параметарска једначина:

Општа једначина:
Једначина директрисе:
Једначина тангенте у тачки :
Узајамни однос параболе и праве

Ако се реши систем једначина параболе и праве. Уколико се добије линеарна једначину, која има решења - права сече параболу у једној тачки. Уколико линеарна једначина нема решења - права и парабола се мимоилазе. Уколико се добије квадратна једначина и дискриминанта је:

  • D > 0 два решења - права сече параболу у две тачке
  • D = 0 једно решење - права је параболи тангента
  • D < 0 нема решења - права и парабола се мимоилазе

Поларни координатни систем

Парабола с фокусом у почетку координатног система и с врхом на негативној полуоси x записује се помоћу једначине:

где је параметер параболе.

Из тог је видљиво, да параметар параболе има такође значење половине дужине тзв. latus rectum, тако да је и тетива конусног пресека нормална на главну осу у фокусу . Код параболе се та вредност изједначава са четвероструком дужином фокусне удаљености.

Поларном једначином је могуће доказати, да парабола настане кружном инверзијом кардиоде.[7]

Парабола у реалном свету

Трајекторије тела која се крећу у хомогеном гравитацијском пољу су параболе. По параболи се такође крећу тела у централним гравитацијским пољима, ако је њихова брзина тачно једнака другој космичкој брзини, а смер им се поклапа са смером тог поља. Нпр. пут, по којем се крећу неке комети, су веома сличне параболи.

Ако се зрак који прилази параболи (или параболоиду) паралелно са осом симетрије одбије од параболе/параболоида, пролазиће фокусом. То је разлог, зашто се производе параболична огледала и антене (нпр. код аутомобила, двогледа, телекомуникацијских сателита и сл.).

Napomene

  1. ^ The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.

Референце

  1. ^ Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th изд.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734 
  2. ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fieldsНеопходна слободна регистрација (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0 , pp. 91.
  3. ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd изд.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462 
  4. ^ Kumpel, P. G. (1975), „Do similar figures always have the same shape?”, The Mathematics Teacher, 68 (8): 626—628, ISSN 0025-5769, doi:10.5951/MT.68.8.0626 .
  5. ^ Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), „Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective”, Learning and Teaching Mathematics, 11: 29—34 .
  6. ^ Tsukerman, Emmanuel (2013). „On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197—208. 
  7. ^ R.C. Yates (1952). „Cardioid”. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. стр. 4 ff. 

Литература

Спољашње везе