Рационалан број

За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

A symbol for the set of rational numbers

The rational numbers ($\mathbb {Q}$) are included in the real numbers ($\mathbb {R}$), while themselves including the integers ($\mathbb {Z}$), which in turn include the natural numbers ($\mathbb {N}$)

У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја a/b, где b није нула. For example, −3/7 is a rational number, as is every integer (e.g. 5 = 5/1). The set of all rational numbers, also referred to as "the rationals", the field of rationals or the field of rational numbers is usually denoted by a boldface Q (or blackboard bold $\mathbb {Q}$, Unicode U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q or U+211A ℚ double-struck capital q); it was thus denoted in 1895 by Giuseppe Peano after quoziente, Italian for "quotient", and first appeared in Bourbaki's Algèbre.

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$. Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем. Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан. Реалан број који није рационалан се зове ирационалан. Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са $\mathbb {Q}$. Користећи скуповну нотацију $\mathbb {Q}$ се дефинише као: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$ где је $\mathbb {Z}$ скуп целих бројева.

The decimal expansion of a rational number either terminates after a finite number of digits (example: 3/4 = 0.75), or eventually begins to repeat the same finite sequence of digits over and over (example: 9/44 = 0.20454545...). Conversely, any repeating or terminating decimal represents a rational number. These statements are true in base 10, and in every other integer base (for example, binary or hexadecimal).

A real number that is not rational is called irrational. Irrational numbers include √2, π, e, and φ. The decimal expansion of an irrational number continues without repeating. Since the set of rational numbers is countable, and the set of real numbers is uncountable, almost all real numbers are irrational.

Rational numbers can be formally defined as equivalence classes of pairs of integers (p, q) with q ≠ 0, using the equivalence relation defined as follows:

$\left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.$

The fraction p/q then denotes the equivalence class of (p, q).

Rational numbers together with addition and multiplication form a field which contains the integers, and is contained in any field containing the integers. In other words, the field of rational numbers is a prime field, and a field has characteristic zero if and only if it contains the rational numbers as a subfield. Finite extensions of Q are called algebraic number fields, and the algebraic closure of Q is the field of algebraic numbers.

Етимологија

Иако се данас рационални бројеви дефинишу у виду односа, термин рационалан није изведен и речи ratio. Напротив, то је однос који је изведен из рационалног. Прва употреба речи ratio са његовим савременим значењем је посведочена на енглеском око 1660. године, док се употреба речи rational за квалификационе бројеве појавила скоро век раније, 1570. године. Ово значење рационалног потиче од математичког значења ирационалног, које је први пут коришћено 1551. године, а коришћено је у „преводима Еуклида (следећи његову особену употребу ἄλογος)“.

Ова необична историја потиче од чињенице да су стари Грци „избегли јерес тако што су себи забранили да мисле о тим [ирационалним] дужинама као бројевима“. Дакле, такве дужине су биле ирационалне, у смислу нелогичног, о чему се „не говори“ (ἄλογος на грчком).

Аритметика

Четвртине

Два рационална броја (разломка) ${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$ су једнаки ако и само ако важи $ad=bc\,$.

Два рационална броја се сабирају на следећи начин

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

Правило множења гласи

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

Адитивни и мултипликативни инверзни елемент постоји код рационалних бројева

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,$ и $\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$ ако је $a\neq 0\,$

Следи да је количник два разломка дат са

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

Египатски разломци

Сваки позитивни рационални број може бити представљен као збир различитих јединичних разломака, као што је

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.$

За сваки позитивни рационални број постоји бесконачно много начина да се број овако представи и то се зову египатски разломци. Код старих Египћана је овакав начин представљања био основа за све математичке радње.

Формална конструкција

Дијаграм који приказује репрезентацију еквивалентних класа парова целих бројева

The rational numbers may be built as equivalence classes of ordered pairs of integers.

More precisely, let (Z × (Z \ {0})) be the set of the pairs (m, n) of integers such n ≠ 0. An equivalence relation is defined on this set by

$\left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

Addition and multiplication can be defined by the following rules:

$\left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),$

$\left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).$

This equivalence relation is a congruence relation, which means that it is compatible with the addition and multiplication defined above; the set of rational numbers Q is the defined as the quotient set by this equivalence relation, (Z × (Z \ {0})) / ~, equipped with the addition and the multiplication induced by the above operations. (This construction can be carried out with any integral domain and produces its field of fractions.)

The equivalence class of a pair (m, n) is denoted m/n. Two pairs (m₁, n₁) and (m₂, n₂) belong to the same equivalence class (that is are equivalent) if and only if m₁n₂ = m₂n₁. This means that m₁/n₁ = m₂/n₂ if and only m₁n₂ = m₂n₁.

Every equivalence class m/n may be represented by infinitely many pairs, since

$\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .$

Each equivalence class contains a unique canonical representative element. The canonical representative is the unique pair (m, n) in the equivalence class such that m and n are coprime, and n > 0. It is called the representation in lowest terms of the rational number.

The integers may be considered to be rational numbers identifying the integer n with the rational number n/1.

A total order may be defined on the rational numbers, that extends the natural order of the integers. One has

${\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

if

$(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\qquad {\text{or}}\qquad (n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).$

Литература

• Cassels, J. W. S. (1986), Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31525-5, Zbl 0595.12006 
• Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012), Theory of Algebraic Functions of One Variable, History of mathematics, 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3 . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• Gouvêa, F. Q. (март 1994), „A Marvelous Proof”, American Mathematical Monthly, 101 (3): 203—222, JSTOR 2975598, doi:10.2307/2975598 CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic Numbers: An Introduction (2nd изд.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874.11002 
• Hazewinkel, M., ур. (2009), Handbook of Algebra, 6, North Holland, стр. 342, ISBN 978-0-444-53257-2 
• Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979), „A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic”, SIAM Journal on Computing, 8 (2): 124—134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714 , doi:10.1137/0208011 
• Hensel, Kurt (1897), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6 (3): 83—88 
• Kelley, John L. (2008) [1955], General Topology, New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8 
• Koblitz, Neal (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, London Mathematical Society Lecture Note Series, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439.12011 
• Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3 
• Bachman, George (1964), Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, ISBN 0-12-070268-1 
• Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number Theory, Pure and Applied Mathematics, 20, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803 
• Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, 58 (2nd изд.), Springer, ISBN 0-387-96017-1 
• Mahler, Kurt (1981), p-adic numbers and their functions, Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2nd изд.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013 
• Steen, Lynn Arthur (1978), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X 
• Houston-Edwards, Kelsey (19. 10. 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Rational number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
• Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
• Efficient p-adic arithmetic (slides)
• Introduction to p-adic numbers