Лагерови полиноми

Лагерови полиноми : $L_{n}(x)$ представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:

$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,$

Придружени Лагерови полиноми : $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ представљају решења од:

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0\,$

По први пут дефинисао их је француски математичар Едмонд Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.

Родригезова формула и полиноми

Лагерови полиноми обично се означавају као L₀, L₁, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).$

Првих неколико полинома:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

Генерирајућа функција Лагерових полинома је:

${\frac {e^{-xt/(1-t)}}{1-t}}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}\,$.

Рекурзивне релације

Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:

$L_{0}(x)=1\,$

$L_{1}(x)=1-x\,$

а рекурзивна релација је:

$(n+1)\,L_{n+1}(x)=(2\,n+1-x)\,L_{n}(x)-n\,L_{n-1}(x)$

Рекурзивна релација за изводе је:

$x\,L_{n}'(x)=n\,L_{n}(x)-n\,L_{n-1}(x)$

Генерализирани Лагерови полиноми

Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ представљају решења диференцијалне једаначине:

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0$

Родригезова формула за генерализиране формуле је:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).$

Обични лагерови полиноми добијају се помоћу генерализираних полинома помоћу α = 0:

$L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).$

Ортогоналност

Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију x^α e ^−x:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720