Фибоначијеви полиноми

Фибоначијеви полиноми дефинишу се следећом рекурзијом.

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

Сматрају се генерализацијом Фибоначијевога низа.

Својства и Лукасови полиноми

Генерирајућа функција Фибоначијевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.$

Првих неколико Фибоначијевих полинома:

$F_{0}(x)=0\,$

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Лукасови полиноми користе исту рекурзију, али са нешто другачијим почетним вредностима: $L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}$ Генерирајућа функција Лукасових полинома је:

$\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

Првих неколико Лукасових полинома је:

$L_{0}(x)=2\,$

$L_{1}(x)=x\,$

$L_{2}(x)=x^{2}+2\,$

$L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$

$L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$

$L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$

$L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,$