Кватернион

Кватернион представља збир скалара и вектора и као такав објекат није ни вектор ни скалар. Појам кватерниона увео је Хамилтон. Пример кватериона можемо наћи при проучавању ротације тела око непомичне осе. Када поделимо два скалара рецимо m и n добијамо опет скалар p=m/n што можемо написати као m=pn. По аналогији количник два вектора a и b који у општем случају нису колинеарни је нека величина коју означавамо са Q при чему као таква треба да задовољава једнакост a =Q b. Производ Q b геометријски представља деформацију (с обзиром да вектори нису у општем случају колинеарни) и обртање вектора b за угао Θ=<(a, b) до поклапања са a. Како би дефинисали дељење два вектора, мора се претходно дефинисати величина Q. Ову величину је Хамилтон приказао у облику збира скалара А и вектора a. Величину Q=А+ a пошто је одређена са четири броја назвао је кватернион. Кватернион није могуће представити геометријски с обзиром да је за тако нешто потребно имати четири осе једну за скалар и три за вектор.

Особине

$q::=a+bi+cj+dk\!$ где су $a,b,c,d\in \mathbb {R}$

а $i\!$, $j\!$ и $k\!$ испуњавају следеће услове:

$m*n\!$	$i\!$	$j\!$	$k\!$
$i\!$	$-1\!$	$k\!$	$-j\!$
$j\!$	$-k\!$	$-1\!$	$i\!$
$k\!$	$j\!$	$-i\!$	$-1\!$

Матрични облик

Ако су елементи матрице комплексни бројеви онда је она димензије 2 * 2

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$

За реалну матрицу:

${\begin{pmatrix}\;\;a&b&\;\;c&d\\\;\;-b&\;\;a&-d&c\\\;\;-c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;-d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}$

Где су $a,b,c,d\in \mathbb {R}$.