Изоморфизам (математика) — разлика између измена
м r2.7.3) (Робот: промењено uk:Ізоморфізм груп у uk:Ізоморфізм |
|||
Ред 83: | Ред 83: | ||
[[sv:Isomorfi]] |
[[sv:Isomorfi]] |
||
[[tr:İzomorfizma]] |
[[tr:İzomorfizma]] |
||
[[uk:Ізоморфізм |
[[uk:Ізоморфізм]] |
||
[[ur:Isomorphism]] |
[[ur:Isomorphism]] |
||
[[zh:同构]] |
[[zh:同构]] |
Верзија на датум 14. новембар 2012. у 09:45
Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.
Особине
Пресликавање f из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:
Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре X и Y означава са .
Практичан пример
Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.
Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу b, логаритам logb пресликава позитивне реалне бројеве у реалне бројеве ; формално:
Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.
Осим што је изоморфизамскупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:
Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе у групу .
Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу Z/6Z бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу Z/2Z × Z/3Z, уређених парова где x координате могу бити 0 или 1, а y координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање x-координате је по модулу 2 а сабирање y-координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:
- (0,0) -> 0
- (1,1) -> 1
- (0,2) -> 2
- (1,0) -> 3
- (0,1) -> 4
- (1,2) -> 5
или уопштено (a,b) -> (3a + 4 b) mod 6. На пример, (1,1) + (1,0) = (0,1) што се пресликава у други систем као 1 + 3 = 4. Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе Z/nZ and Z/mZ је цикличан ако и само ако су n и m узајамно прости.
Литература
- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.