Линеарно пресликавање

У математици, линеарно пресликавање (такође линеарна трансформација или линеарни оператор) је функција између два векторска простора, која очувава операције сабирања вектора и скаларног множења. Израз линеарна трансформација се често користи, посебно за линеарна пресликавање из неког векторског простора у самог себе (ендоморфизми).

У језику апстрактне алгебре, линеарно пресликавање је хомоморфизам векторских простора, или морфизам у категорији векторских простора над датим пољем.

Дефиниција и директне последице

Нека су V и W векторски простори над истим пољем K. Функција f : V → W је линеарно пресликавање ако за свака два вектора x и y из V и сваки скалар a из K, важе следећа два услова:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$	адитивност
$f(ax)=af(x)\,$	хомогеност

Ово је еквивалентно захтеву да за све векторе x₁, ..., x_m и скаларе a₁, ..., a_m, важи једнакост

$f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m})$

Понекад може да се узме да су V и W векторски простори над различитим пољима. Тада је неопходно одредити које од ових поља се узима у дефиницији линеарности. Ако су V и W векторски простори над пољем K као у горњем случају, ради се о K-линеарним пресликавањима. На пример конјугација комплексних бројева је R-линеарно пресликавање C → C, али није C-линеарно.

ЛИнеарно пресликавање из V у K (где се K посматра као векторски простор над самим собом) се назива линеарни функционал.

Из дефиниције директно следи да је f(0) = 0. Стога се линеарна пресликавања понекад називају хомогеним линеарним пресликавањима (види: линеарна функција).

Примери

• Идентитета и нула-пресликавање су линеарни.

• За реалне бројеве, пресликавање $x\mapsto x^{2}$ није линеарно.

• За реалне бројеве, пресликавање $x\mapsto x+1$ није линеарно.

• Ако је A m × n матрица, онда A дефинише линеарно пресликавање из Rⁿ у R^m тако што шаље вектор колона x ∈ Rⁿ у вектор колона Ax ∈ R^m. Обратно, свако линеарно пресликавање између коначно-димензионих векторских простора се може представити на овај начин.

• Интеграл даје линеарно пресликавање из простора свих интеграбилних функција реалне вредности на неком интервалу у R

• Диференцирање је линеарно пресликавање из простора свих диференцијабилних функција у простор свих функција.

Литература

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.