Универзални закон гравитације

Математичар и физичар Исак Њутн у периоду од 1665. до 1685., развио је своју теорију механике, засновану на убрзању, а не само на проучавању брзине, како су то чинили Галилеј и Декарт пре њега.

Кључна чињеница коју је Њутн први запазио је да је сила која делује на јабуку која пада са дрвета заправо иста сила која делује на Земљу да се окреће око Сунца. Из тог сазнања потекао је Њутнов закон гравитације, тј. универзални закон гравитације, који се убраја у четврти Њутнов закон, поред 3 основна закона класичне механике.

Формулација закона

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Гравитациона сила којом се привлаче тела 1 и 2 сразмерна је производу њихових маса $m_{1}$ и $m_{2}$, а обрнуто> сразмерна квадрату њиховог растојања, $d^{2}$.

$G$, је гравитациона константа која износи $6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$ (или ${\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$), а ${\vec {u}}_{12}$ је јединични вектор усмерен од тела 1 према телу 2. Негативни предзнак означава да је сила међу телима привлачна сила.

Доказ

Други Њутнов закон:

Основни закон динамике, тј. Други Њутнов закон, који полази од Декартовог принципа инерције (одржање количине кретања), показује да збирно деловање сила на тела једнако $ma$, где је $m$ инертна маса (која отежава кретање тела), и где је $a$ убрзање (ритам промене брзине).

Уобичајеним називима речено:

Величина силе на неко тело директно је сразмерна убрзању и маси тог тела.

${\overrightarrow {F}}=m\cdot {\overrightarrow {a}}$

где је F сила, m маса, a убрзање.

Кеплерови закони и Закон о центрифугалној сили:

С друге стране, из Кеплерових закона, који су изведени из посматрања кретање тела у Сунчевом систему, и закона Кристијана Хајгенса о центрифугалној сили, Њутн је закључио да гравитациона сила између два тела делује по правој линији између њих и обрнуто је пропорционална квадрату њиховог растојања, тј. сразмерна је са ${\frac {1}{d^{2}}}$, где је $d$ растојање између тела.

Гравитациона константа

Сматрајући да је сила гравитације пропорционална количини материје присутној у телу која делују овом силом (двоструко веће тело делује двоструко већом силом), пертпоставио је да је сила пропорционална величини $m_{G}$ коју је назвао гравитациона маса, пропорционална количини материје у телу и његовој способности да врши привлачно деловање.

Трећи Њутнов закон:

По принципу акције и реакције, сила којом друго тело делује на прво је једнака (и усмерена у супротном смеру) сили којом прво тело делује на друго. Ова сила је пропорционална $m'_{G}$, гравитационој маси другог тела.

Закључак:

Њутн је желео да обједини законе који важе на Земљи са онима који се могу важе на небу (астрономија), нарочито оне који се односе на Земљину тежу и кретање планета).

Основни закон динамике се стога може записати као: $ma=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$. Ако је убрзање $a$ (и брзина) тела које је у слободном паду независно од инерционе масе (као што је показао Галилејев експеримент), онда за тело важи $m=m_{G}$, дакле гравитациона маса је једнака инерционој маси, што не зависи од врсте и састава тела. Њутн је тестирао ову теорију на много примера и није јој нашао изузетак.

Ако занемаримо остале утицаје и претпоставимо да сила делује тренутно, без кашњења, гравитациону сила између два тачкаста тела може се објаснити на следећи начин:

$F=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$, где је $G$ константа под именом гравитациона константа.

Одавде добијамо и коначни запис Универзалног закона гравитације у скаларном облику:

$F_{12}=G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}$

И у векторском облику:

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Пример

Наћи привлачну силу гравитације између планете Земље и Сунца и њен интензитет.

Познате вредности су:

• гравитациона константа: $G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$
• удаљеност Земље од Сунца $r=1.5\cdot 10^{11}m$
• маса Сунца $m_{1}=1.99\cdot 10^{30}kg$
• маса Земље $m_{2}=5.98\cdot 10^{24}kg$

Универзални закон гравитације гласи:

${\vec {F}}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}},$

где је ${\vec {u}}$ јединични вектор од тела 1 ка телу 2.

На основу горенаведеног, добијамо да је тражена сила:

${\vec {F}}=-{\frac {6.67\cdot 10^{-11}Nm^{2}\cdot 1.99\cdot 10^{30}kg\cdot 5.98\cdot 10^{24}kg}{kg^{2}\cdot (1.5\cdot 10^{11}m)^{2}}}=-3.52\cdot 10^{22}N\cdot {\vec {u}},$

а њен интензитет:

$F=3.52\cdot 10^{22}N.$

Знак минус (-) у једначини силе показује да је сила између Земље и Сунца привлачна сила.

Општост Универзалног закона гравитације

Колико је Њутнов закон гравитације општији у односу на законе који су до тада постојали и који су били и експериментално потврђени, показује чињеница да се сви ти закони могу доказати из њега и да они представљају само неке од специјалних случајева тог закона.

Кеплерови закони

Главни чланак: Кеплерови закони

Помоћу Универзалног закона гравитације, могу се доказати и сви Кеплерови закони и уочавају се грешке у Трећем Кеплеровом закону.

Галилејев закон

Главни чланак: Галилејев закон

Њутнов закон гравитације може да искаже Галилејев закон. Aко се са $d$ означи полупречник земље, а $m_{T}=$ је маса Земље, добија се да је $g=G\cdot {\frac {m_{T}}{d^{2}}}=9,81$ m·s^-2.

Примена

Понашање сателита и пројектила, из разлога што подлежу Универзалном закону гравитације

Као и свака теорија, и Универзални закон гравитације је од хипотезе експериментално потврђен.

Једно од открића, којем је основну подлогу дао управо Универзални закон гравитације, је откриће да је могуће у ваздух подигнути, тј. послати на небо и предмете који су тежи од ваздуха.

Види још

• Гравитација
• Њутнови закони - основни закони класичне механике
• Кеплерови закони
• Галилејев закон
• Исак Њутн