Функција расподеле

Функција расподеле или кумулативна расподела вероватноће је функција која се користи у теорији вероватноће. Означава се са F_x. То је функција која за сваки реалан број x, одређује вероватноћу да је случајна променљива X узела вредност мању од или једнаку x

$x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x),$

Вероватноћа да X лежи на интервалу (a, b] је једнака F(b) − F(a) ако је a < b. Обично се користи велико латинично слово F за означавање функције расподеле, за разлику од малог латиничног слова f, које се користи за расподелу вероватноће.

Кумулативна расподела вероватноће се може изразити и преко расподеле вероватноће f на следећи начин:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Својства

Одозго на доле, функција расподеле дискретне случајне променљиве, непрекидне случајне променљиве, и случајне променљиве која има и непрекидне и дискретне делове.

Свака функција расподеле, F је монотоно неопадајућа, и непрекидна здесна. Осим тога, важи

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.$

Свака функција која задовољава ова четири својства је функција расподеле.

Ако је X дискретна случајна променљива, онда она има вредности x₁, x₂, ... са вероватноћама p_i = P(x_i), а њена функција расподеле ће имати прекиде у тачкама x_i, и бити константна између њих:

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})$

Ако је функција расподеле F, случајне променљиве X, непрекидна, онда је X непрекидна случајна променљива; ако је осим тога, F апсолутно непрекидна, онда постоји Лебег-интеграбилна функција f(x), таква да

$F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

за све реалне бројеве a и b. (Прва од горње две једнакости не би била тачна у општем случају ако не би било назначено да је расподела непрекидна. Непрекидност расподеле имплицира да је P(X = a) = P(X = b) = 0, па разлика између < и ≤ у том контексту нема значаја.) Функција f је једнака изводу од F скоро свуда, и назива се расподела вероватноће за случајну променљиву X.