Обична диференцијална једначина

У математици, обична диференциална једначина (ОДЕ) је диференцијална једначина која садржи једну или више функција са једном независном променљивом и изводима тих функција. Термин обична се користи у контрасту са термином парцијална диференцијална једначина, која може бити дефинсана у односу на више од једне независне променљиве.

Диференцијалне једначине

Линеарна диференцијална једначина је диференцијална једначина која је дефинисана помоћу линеарног полинома у непознатој функцији и њеним дериватима. Другим речима то је једначина облика

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

где су $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$ и $b(x)$ произвољне диференцијабилне функције које не морају да буду линеарне, а $y',\ldots ,y^{(n)}$ су сукцесивни деривати непознате функције y променљиве x.

Међу обичним диференцијалним једнаџбама, линеарне диференцијалне једначине играју истакнуту улогу из више разлога. Већина елементарних и специјалних функција које се сусрећу у физици и примењеној математици су решења линеарних диференцијалних једначина (погледајте Холономску функцију). Када се физички феномени моделују нелинеарним једначинама, они се обично апроксимирају линеарним диференцијалним једначинама ради лакшег решења. Неколико нелинеарних ОДЕ које се могу експлицитно решити генерално се решавју претварањем једначине у еквивалентне линеарне ОДЕ (погледајте, на пример, Рикатијеву једначину).

Неке ОДЕ се могу експлицитно решити у смислу познатих функција и интеграла. Када то није могуће, једначина за рачунање Тејлорове серије решења може бити корисна. За примењене проблеме, нумерички методи за обичне диференцијалне једначине могу да дају приближну вредност решења.

Залеђина

Трајекторија пројектила лансираног из топа следи криву одређену обичном диференцијалном једначином која је изведена из другог Њутновог закона.

Обичне диференцијалне једначине (ОДЕ) се јављају у многим контекстима математике, и друштвених и природних наука. Математички описи промена користе диференцијале и деривате. Разни диференцијали, деривати и функције постају повезани путем једначина, тако да је диференцијална једначина резултат који описује динамички променљиве појаве, еволуцију и варијације. Често се количине дефинишу као брзина промене других количина (на пример, деривати премештања с обзиром на време), или градијенти количина, тако да се уносе диференцијалне једначине.

Специфична математичка поља укључују геометрију и аналитичку механику. Научна подручја укључују у знатној мери физику и астрономију (небеску механику), метеорологију (моделовање временских прилика), хемију (стопе реакције), биологију (заразне болести, генетске варијације), екологију и моделовање популације (популационо надметање), економију (трендови деоница, промене каматних стопа и тржишна равнотежа промена цена).

Многи математичари су изучавали диференцијалне једначине и допринели овом пољу, укључујући Њутна, Лајбница, породицу Бернули, Рикатија, Клера, д'Алембера, и Ојлера.

Једноставан пример је други Њутнов закон кретања — однос између померања x и времена t објекта под дејством силе F, дат је диференцијалном једначином

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

што ограничава кретање честице константне масе m. Генерално, F је функција позиције x(t) честице у времену t. Непозната функција x(t) се јавља на обе стране ове диференцијалне једначине, и то је назначено нотацијом F(x(t)).

Дефиниције

Нека је y зависна променљива и x независна променљива, и y = f(x) непозната функција од x. Нотација за диференцијацију варира у зависности од аутора и од тога која је нотација најкориснија за дати задатак. У том контексту, Лајбницова нотација (dy/dx,d²y/dx²,...,dⁿy/dxⁿ) је кориснија за диференцијацију и интеграцију, док је Лагранжова нотација (y′,y′′, ..., y⁽ⁿ⁾) подеснија за компактно представљање деривата било ког реда, а Њутнова нотација $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ се често користи у физици за представљање деривата ниског реда с обзиром на време.

Општа дефиниција

За дато F, функцију од x, y, и деривате од y, једначина облика

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

се назива експлицитном обичном диференцијалном једначином реда n.

Генералније, имплицитна обична диференцијална једначина реда n поприма форму:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

Постоје даље класификације:

Аутономна

Диференцијална једначина која не зависи од x се назива аутономном.

Линеарна

За диференцијалну једначину се каже да је линеарна, ако се F може написати као линеарна комбинација деривата од y:

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

где су a_i(x) и r(x) непрекидне функције у x. Функција r(x) се назива изворним чланом, што доводи до две даље важне класификације:

Хомогенена

Акој је r(x) = 0, консеквентно једно „аутоматцко” решење је тривијално решење, y = 0. Решење линеарне хомогене једначине је комплементарна функција, која је овде означена са y_ц.

Нехомогена (или инхомогенена)

Ако је r(x) ≠ 0. Додатно решење комплементарне функције је партикуларни интеграл, који је овде означен са y_p.

Опште решење линеарне једначине се може написати као y = y_c + y_p.

Нелинеарна

Диференцијална једначина која се не може написати у виду линеарне комбинације.

Систем обичних диференцијалних једначина

Више спрегнутих диференцијалних једначина формира систем једначина. Ако је y вектор чији су елементи функције; y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_м(x)], и F је векторска функција од y и њених деривата, онда је

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

експлицитни систем обичних диференцијалних једначина реда n и димензије m. У облику колоног вектора:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

Оне нису нужно линеарне. Имплицитни аналог је:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

где је 0 = (0, 0, ..., 0) нулти вектор. У матричном облику

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

За систем облика $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, неки извори такође захтевају да Јакобијан ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ буде инвертабилан да би се систем сматрао имплицитним ОДЕ системом. Такав систем који задовољава услов одсуства сингуларности Јакобијана се може трансформисати у експлицитни ОДЕ систем. У неким изворима, имплицитни ОДЕ системи са сингуларним Јакобијаном се називају диференцијалним алгебрским једначинама (ДАЕ). Ова разлика није само терминолошка. ДАЕ имају суштински различите карактеристике и углавном су више укључени у решавање од (несингуларних) ОДЕ система. Ради додатних деривата, претпоставља се да Хесијанска матрица и тако даље нису сингуларне према овој шеми, мада треба имати у виду да било која ОДЕ реда већег од један може да буде [и обично се] изражава као систем ОДЕ првог реда, што чини Јакобијев критеријум сингуларности довољним да ова таксономија буде свеобухватна у свим редовима.

Понашање ОДЕ система може се визуализовати коришћењем фазног портрета.

Решења

За дату диференцијалну једначину

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

функција у: I ⊂ Р → Р се назива решењем или интегралном кривом за F, ако је u n-пута диференцијабилно на I, и

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Унитар два решења u: J ⊂ R → R и v: I ⊂ R → R, u се назива екстензијом од v ако је I ⊂ J и

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Решење које нема екстензију се назива максимално решење. Решење дефинисано на целокупном R се назива глобално решење.

Опште решење једне једначине n-тог реда је решење које садржи n произвољних независних константи интеграције. Партикуларно решење се изводи из општег решења усвајањем партикуларних вредности константи, које се обично бирају да задовоље скуп иницијалних или граничних услова. Сингуларно решење је решење које се не може добити додељивањем коначних вредности произвољним константама у општем решењу.

Литература

• Халлидаy, Давид; Ресницк, Роберт (1977), Пхyсицс (3рд изд.), Неw Yорк: Wилеy, ИСБН 0-471-71716-9 
• Харпер, Цхарлие (1976), Интродуцтион то Матхематицал Пхyсицс, Неw Јерсеy: Прентице-Халл, ИСБН 0-13-487538-9 
• Креyсзиг, Ерwин (1972), Адванцед Енгинееринг Матхематицс (3рд изд.), Неw Yорк: Wилеy, ИСБН 0-471-50728-8 .
• Полyанин, А. D. анд V. Ф. Заитсев, Хандбоок оф Еxацт Солутионс фор Ординарy Дифферентиал Еqуатионс (2нд едитион)", Цхапман & Халл/ЦРЦ Пресс, Боца Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716 
• Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd изд.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6 
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (на језику: french) CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303 
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill. 
• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104, doi:10.1137/1.9780898719222 
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757 
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Ибрагимов, Наил Х (1993). ЦРЦ Хандбоок оф Лие Гроуп Аналyсис оф Дифферентиал Еqуатионс Вол. 1-3. Провиденце: ЦРЦ-Пресс. ИСБН 0-8493-4488-3 .
• Тесцхл, Гералд (2012). Ординарy Дифферентиал Еqуатионс анд Дyнамицал Сyстемс. Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-8328-0. 
• А. D. Полyанин, V. Ф. Заитсев, анд А. Моуссиауx, Хандбоок оф Фирст Ордер Партиал Дифферентиал Еqуатионс, Таyлор & Францис, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Зwиллингер, Хандбоок оф Дифферентиал Еqуатионс (3рд едитион), Ацадемиц Пресс, Бостон, 1997.

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Дифферентиал еqуатион, ординарy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Differential Equations на сајту Curlie (инцлудес а лист оф софтwаре фор солвинг дифферентиал еqуатионс).
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.
• Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
• A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.
• Modeling with ODEs using Scilab A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.
• Alpha