Описан круг

У геометрији је описан круг (или круг описан око многоугла) круг који пролази кроз сва темена многоугла. Центар овог круга се налази у пресеку симетрала страница и његов полупречник је растојање центра од било ког темена многоугла. Многоугао који има описан круг се назива тетивни многоугао. Сви троуглови и сви правоугаоници су тетивни као и остали правилни многоуглови(петоугао,шестоугао,осмоугао).

Овај круг се сматра и најмањим кругом који у потпуности садржи многоугао у себи, ако је центар унутар многоугла. Нема сваки многоугао описан круг, јер неће увек сва темена многоугла да леже на кругу, али сваки многоугао има јединствени минимални гранични круг, који се може конструисати алгоритмом у линеарном времену. Чак и ако многоугао има описан круг, не мора да значи да ће да се поклопи са минималним граничним кругом; на пример, код тупоуглог троугла, минимални гранични круг има најдужу страну као пречник и не пролази кроз остала темена.

Описан круг,C, и центар описаног круга,О, тетивног многоугла,П

Круг описан око троугла

Сви троуглови су тетивни, односно око сваког троугла може да се опише круг.

Теорема (О центру описаног круга)

Симетрале страница троугла секу се у једној тачки.

Доказ

Нека је $S$ заједничка тачка симетрале $s_{1}$ , странице $BC$ и симетрале $s_{2}$ странице $AC$ троугла $ABC$. Закључује се следеће: како је $S$ тачка симетрале $s_{1}$, важи једнакост $BS=CS$. Међутим, због $S\in s_{2}$ је и $CS=AS$, па следи и $AS=BS$. Дакле, троугао $ABS$ је једнакокраки, па тачка $S$ припада и симетрали дужи $AB$. Дакле, $S$ је заједничка тачка симетрала трију страница троугла. Сем тога, како је $SA=SB=SC$, то круг са центром $S$ и полупречником $SA$ садржи сва темена троугла, па је то описани круг троугла $ABC$.

Једнакостранични,једнакокраки и правоугли троуглови

Једнакостранични троугао

Полупречник описаног круга око једнакостраничног троугла једнак је ${\frac {2}{3}}$ висине тог троугла.

$R_{0}={\frac {2}{3}}h$ или $R_{0}={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$

Површина описаног круга је $P=R_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Једнакокраки троугао

Код једнакокраког троугла центар описаног круга налази се на висини која одговара основици.

$h_{a}={\sqrt {b^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$

Површина описаног круга је $P=\left({\frac {2}{3}}h_{a}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$

Правоугли троугао

Центар описаног круга око правоуглог троугла је средиште хипотенузе. Дужина полупречника описаног круга је једнака половини дужине хипотенузе.

$R_{0}={\frac {1}{2}}c$

Површина описаног круга је $P=\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$

Положај у односу на троугао

Положај центра описаног круга зависи од врсте троугла:

• Ако је троугао оштроугли(сви углови су мањи од правог угла), центар описаног круга се налази унутар троугла.
• Ако је троугао тупоугли (има један угао који је већи од правог угла), центар описаног круга лежи изван троугла.
• Ако је правоугли троугао, центар описаног круга се налази на средини хипотенузе. Ово потврђује Талесова теорема.

Описан круг око остроуглог, тупоуглог и правоуглог троугла.

Барицентричке координате

Центар круга има барицентричке координате $a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$,, где су $a,b,c$ дужине страница ($BC,CA,AB$) троугла.

У односу на унутрашње углове троугла $\alpha \,$,$\beta \,$,$\gamma \,$, барицентричке координате центра описаног круга су:

$\sin 2\alpha \,:\sin 2\beta \,:\sin 2\gamma \,$.

Примена синусне и косинусне теореме

Странице троугла пропорционалне су синусима њима наспрамних углова. Однос дужине страница и синуса наспрамног угла троугла је константа и једнак је дужини пречника кружнице описане око троугла.

Доказ

Нека је $\kappa (O,R_{0})$ круг који је описан око троугла $ABC$.

Ако је $CA_{1}$ пречник,тада из правоуглог троугла $A_{1}BC$ имамо $\sin \alpha \,_{1}={\frac {a}{2R_{0}}}$.

Углови $\alpha \,$ и $\alpha \,_{1}$ су једнаки или суплементни,као периферијски углови над истим луком $BC$ ,па је и $\sin \alpha \,=\sin \alpha \,_{1}$, дакле следи $\sin \alpha \,={\frac {a}{2R_{0}}}$

Круг описан око четвороугла

Тетивни четвороуглови

Четвороуглови могу имати описан круг ако и само ако се симетрале све четири странице секу у једној тачки и они имају посебне особине, укључујући чињеницу да се наспрамни углови допуњују (збир наспрамних углова једнак је опруженом углу).

Око неких четвороуглова као сто су квадрат, правоугаоник или једнакокраки трапез могуће је описати круг, док око паралелограма, ромба или трапеза у општем случају то није могуће зато што се око паралелограма који није квадрат или правоугаоник не може описати круг јер су симетрале наспрамних страница паралелне.

Четвороуглове око којих може да се опише круг називамо тетивним. Име долази одатле што су странице таквих четвороуглова тетиве описаног круга.

Дефиниција 1. Четвороугао је тетиван ако његова темена припадају једној кружници.

Намећу се два питања:

• 1. Шта је то што узрокује да четвороугао буде тетиван?
• 2. Ако је четвороугао тетиван које особине он тада поседује?

Неки од одговора налазе се у следећим тврђењима.

Тврђење 1. Четвороугао је тетиван ако и само ако се симетрале његове три странице секу у једној тачки.

Два тврђења која следе су најпознатија и она су неопходни и довољни услови за тетивност четвороугла.

Тврђење 2. Четвороугао је тетиван ако и само ако је збир свака два наспрамна угла једнак 180̊.

Тврђење 3. Четвороугао је тетиван ако и само ако је спољашњи угао код једног темена подударан са унутрашњим углом код њему дијагоналног темена.

Тврђење 4. Четвороугао је тетиван ако и само ако му се свака страница види из преостала два темена под подударним угловима.

Круг описан око квадрата,правоугаоника и једнакокраког трапеза

Квадрат има и уписан и описан круг који имају заједнички центар(тзв. центар квадрата) у пресеку дијагонала. Дужина полупречника описаног круга око квадрата је једнака половини дужине дијагонале.

$R_{0}={\frac {1}{2}}d$

Површина описаног круга је $P=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Коришћењем Питагорине теореме дијагонала може да се изрази преко странице квадрата $a^{2}=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}$, $a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$, $d^{2}=2{a}^{2}$, $d={\sqrt {2a^{2}}}$.

Код правоугаоника центар описаног круга налази се у пресеку дијагонала. Дужина полупречника описаног круга је половина дужине дијагонале.

$R_{0}={\frac {d}{2}}$ где је дијагонала може да се изрази преко страница правоугаоника: $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Површина описаног круга је $P=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Код трапеза дужина полупречника описаног круга се одређује преко подударности троуглова.

Х-висина трапеза

Р-полупречник описаног круга

АБ-половина веће основице

ДМ-половина мање основице

Из подударности следи:

$x^{2}-Hx+AB*DM=0$.

Ова квадратна једначина се реши и када је x познато лако може да се израчуна полупречник Р преко Питагорине теореме:

$R_{0}^{2}=AB^{2}+x^{2}$.

Литература

• Каделбург, Зоран; Миличић, П.; et al. (2007). Уџбеник за први разред гимназије. Београд: Круг. 
• Митровић, Милан; Огњановић, С.; et al. (1998). Геометрија за први разред Математичке гимназије. Београд: Круг.