Правоугаони троугао

Правоугаони троугао

Правоугаони троугао је троугао који садржи један прав угао. Страница наспрам (супротна страница од правог угла) правог угла је хипотенуза, док су странице које формирају (праве) угао од 90 степени катете. Постоји више типова правоугаоник троуглова.

Први тип правоугаоног троугла је троугао који садржи један прави угао и два угла чији је збир 90 степени.

Други тип правоугаоног троугла је троугао чији су углови 90, 60 и 30 степени. Овај троугао ће се често помиње у задацима у којима је геометријски објекат трапез. Особина овог троугла је да угао од 60 степени на коме се налази хипотенуза и катета, да та иста хипотенуза има 2 пута већу дужину од те катете.

Трећи тип правоугаоног троугла је троугао чији је један угао 90 степени, а друга два по 45 степени. Овај троугао се назива једнакокрако правоугли. Њега не треба мешати са једностраничним троуглом.

Главна својства

Површина

Као и код свих других троуглова, површина је једнака половине базе помножене одговарајућом висином. У правоуглом троуглу, ако се једна катета узме као основица однда је друга катета висина, тако да је површина правоуглог троугла половина производа кракова. Формула површине П је

$P={\tfrac {1}{2}}ab$

где су а и б катете правоуглог троугла.

За уписани круг је хипотенуза АБ тангента у тачки П. Означавајући полуобим (а + б + ц) / 2 са с, следи да је ПА = с − а и ПБ = с − б и површина је дата са

$P={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).$

Ова формула важи само за правоугли троугао.

Карактеристике

Троугао АБЦ са странама $a\leq b<c$, полупериметром с, површином Т, висином х насупрот најдуже стране, пречником описаног круга Р, полупречником уписаног круга р, полупречницима спољашњих кругова р_а, р_б, р_ц (тангенцијалних на а, б, ц респективно), и медијана м_а, м_б, м_ц је правоугаони троугао ако и само ако је било која изјава у следећим категоријама тачна. Све оне су својства правоугаоног троугла, тако да су ове карактеризације еквивалентне.

Стране и полупериметар

• $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pitagorina teorema}})$
• $\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $\displaystyle s=2R+r.$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$

Углови

• А и Б су комплементарни.
• $\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$
• $\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$
• $\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$
• $\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Површина

• $\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
• $\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• $\displaystyle T=r(2R+r)$
• $T=PA\cdot PB,$ где је П тангенцијална тачка унутрашњег круга на најдужој страници АБ.

Полупречници унутрашњег и спољашњих кругова

• $\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
• $\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
• $\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
• $\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}$

Литература

• Wеисстеин, Ериц W. „Ригхт Триангле”. МатхWорлд. 
• Wентwортх, Г.А. (1895). А Теxт-Боок оф Геометрy. Гинн & Цо. 

Спољашње везе

• Calculator for right triangles
• Advanced right triangle calculator