Референтни елипсоид

Спљоштена сфера

У геодезији, референтни елипсоид је математички дефинисана површина која апроксимира геоид, што је истинитија, несавршена фигура Земље или другог планетарног тела, за разлику од савршене, глатке и непромењене сфере, која узима у обзир на таласање гравитације тела услед промена у саставу и густини унутрашњости, као и накнадно изравнавање узроковано центрифугалном силом услед ротације ових масивних предмета (за планетарна тела која се ротирају). Због своје релативне једноставности, референтни елипсоиди се користе као преферентна површина на којој се изводе прорачуни геодетске мреже и дефинишу координате тачака као што су географска ширина, дужина и надморска висина.

У контексту стандардизације и географских примена, геодетски референтни елипсоид је математички модел који се користи као основа просторних референтних система или дефиниција геодетских података.

Елипсоидни параметри

Исак Њутн је 1687. објавио рад Принципиа у који је уврстио доказ да ротирајуће самогравитационо флуидно тело у равнотежи има облик спљоштеног („облатног”) елипсоида, генерисаног елипсом ротираном око свог малог пречника; облик који је назвао спљоштени сфероид.

У геофизици, геодезији и сродним областима, реч „елипсоид” се подразумева да значи „спљоштени елипсоид револуције”, и старији израз „облатни сфероид” готово да се не користи. За тела која се не могу апроксимирати елипсоидом револуције користи се троосни (или скални) елипсоид.

Облик елипсоида револуције одређен је параметрима облика те елипсе. Велика полуоса елипсе, а, постаје екваторијални радијус елипсоида: мала полуоса елипсе, б, постаје растојање од центра до било ког пола. Ове две дужине у потпуности одређују облик елипсоида.

У публикацијама о геодезији, међутим, уобичајено је да се наведу полу-главна оса (екваторијални радијус) а и елиптицитет ф, дефинисан као:

$f={\frac {a-b}{a}}.$

То јест, ф је количина изравнавања на сваком полу, у односу на радијус на екватору. Ово се често изражава као фракција 1/м; м = 1/ф која је тада „инверзно поравнање”. Много других параметара елипсе користи се у геодезији, али сви они могу бити повезани са једним или два скупа а, б и ф.

Много елипсоида је коришћено за моделовање Земље у прошлости, са различитим претпостављеним вредностима а и б, као и различитим претпостављеним положајима центра и различитим оријентацијама оса у односу на чврсту Земљу. Почев од касног двадесетог века, побољшана мерења сателитских орбита и положаја звезда пружила су изузетно тачна одређивања земљиног центра масе и њене осе ротације; и ти параметри су усвојени и за све савремене референтне елипсоиде.

Елипсоид WGS-84, широко коришћен за мапирање и сателитску навигацију, има ф близу 1/300 (тачније, 1/298,257223563, по дефиницији), што одговара разлици главних и мањих полуоса од приближно 21 км (13 милес) (тачније 21,3846858 км). Поређења ради, Земљин Месец је још мање елиптичан, са ексцентритетом мањим од 1/825, док је Јупитер видљиво заобљен око 1/15 и један од Сатурнових триаксијалних месеци, Телесто, је високо спљоштен, са ф између 1/3 до 1/2 (што значи да је поларни пречник између 50% и 67% екваторијала.

Координате

Главни чланак: Географски координатни систем

За више информација погледајте: Конверзија географских координата

Примарна употреба референтних елипсоида је да служе као основа за координатни систем географске ширине (север/југ), дужине (исток/запад), и елипсоидне висине.

У ту сврху је потребно идентификовати нулти меридијан, који је за Земљу обично главни меридијан. За остала тела обично се наводи фиксна површинска карактеристика, која је за Марс меридијан који пролази кроз кратер Ери-0. На истом референтном елипсоиду могуће је дефинисати много различитих координатних система.

Земљописна дужина мери угао ротације између нултог меридијана и измерене тачке. Према конвенцији за Земљу, Месец и Сунце то се изражава у степенима у распону од -180° до +180°. За остала тела користи се опсег од 0° до 360°.

Латитуда мери колико је тачка близу полова или екватора дуж меридијана и представљена је као угао од -90° до +90°, где је 0° екватор. Уобичајена или геодетска латитуда је угао између екваторијалне равни и праве која је нормална на референтни елипсоид. У зависности од спљоштености, то може се донекле разликовати од геоцентричне (географске) латитуде, која је угао између екваторијалне равни и линије од центра елипсоида. За тела која нису са Земље користе се термини планетографски и планетоцентрични.

Координате геодетске тачке се обично наводе као геодетска латитуда ϕ и лонгитуда λ (обе специфицирају правац у простору геодетске нормале која садржи тачку) и елипсоидна висина х тачке изнад или испод референтног елипсоида дуж његове нормале. Ако су дате ове координате, могу се израчунати геоцентричне правоугаоне координате тачке на следећи начин:

${\begin{aligned}X&={\big (}N(\phi )+h{\big )}\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&={\big (}N(\phi )+h{\big )}\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}$

где је

$N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}},$

а а и б су екваторијални радијус (велика оса) и поларни радијус (мала оса), респективно. Н је радијус закривљености у главној вертикали.

Насупрот томе, издвајањем ϕ, λ и х из правоугаоних координата обично захтева итеративни приступ. Једноставна метода дата је у ОСГБ публикацији, као и у веб белешкама. Софистикованије методе дате су у геодетском систему.

Историјски Земљини елипсоиди

Екваторијални (а), поларни (б) и просечни Земљни радијус по ревидираној дефиницији Светског геодетског система из 1984 (нису у сразмери)

Тренутно је најчешће коришћени референтни елипсоид, и онај који се користи у контексту Глобалног система позиционирања, дефинисан у WGS 84.

Традиционални референтни елипсоиди или геодетски подаци су дефинисани регионално и према томе су негеоцентрични, нпр. ЕД50. Савремени геодетски подаци се успостављају уз помоћ ГПС-а и стога су геоцентрични, е.г. WGS 84.

Друга небеска тела

Референтни елипсоиди су такође корисни за геодетско мапирање других планетарних тела, укључујући планете, њихове сателите, астероиде и језгра комета. Нека добро видљива тела попут Месеца и Марса сада имају прилично прецизне референтне елипсоиде.

За готово сферна тела са крутом површином, која укључује све стеновите планете и многе месеце, елипсоиди су дефинисани у смислу осе ротације и средње висине површине искључујући било какву атмосферу. Марс је заправо облика јајета, при чему се његов северни и јужни поларни радијус разликују за приближно 6 км (4 милес), међутим та разлика је довољно мала да се просечни поларни радијус користи за дефинисање његовог елипсоида. Земљин Месец је ефективно сферичан, на свом екватору готово да нема избочина. Где је то могуће, приликом дефинисања референтног меридијана користи се фиксна видљива површинска карактеристика.

За гасовите планете попут Јупитера, ефективна површина елипсоида је изабрана као граница једнаког притиска од једног бара. Будући да они немају трајне уочљиве особине, избор главних меридијана се врши према математичким правилима.

Мали месеци, астероиди и језгра комета често имају неправилне облике. За неке од њих, као што је Јупитеров Ија, скаленски (триаксијални) елипсоид боље одговара од заобљеног сфероида. За изразито неправилна тела концепт референтног елипсоида можда неће имати корисну вредност, па се понекад уместо њега користи сферна референца и тачке се идентификују планетоцентричном географском ширином и дужином. Чак и то може бити проблематично за неконвексна тела, попут Ероса, у смислу да географска ширина и дужина не идентификују увек јединствену површинску локацију.

Литература

• П. К. Сеиделманн (Цхаир), ет ал. (2005), “Репорт Оф Тхе ИАУ/ИАГ Wоркинг Гроуп Он Цартограпхиц Цоординатес Анд Ротатионал Елементс: 2003,” Целестиал Мецханицс анд Дyнамицал Астрономy, 91, пп. 203–215.
  • Wеб аддресс: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
• ОпенГИС Имплементатион Специфицатион фор Геограпхиц информатион - Симпле феатуре аццесс - Парт 1: Цоммон арцхитецтуре, Аннеx Б.4. 2005-11-30
  • Wеб аддресс: http://www.opengeospatial.org
• A guide to coordinate systems in Great Britain (PDF), D00659 v2.3, Ordnance Survey, март 2015, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 9. 2015. г., Приступљено 22. 6. 2015 CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• B. Hofmann-Wellenhof; H. Lichtenegger; J. Collins (1997). GPS - theory and practice. Section 10.2.1. стр. 282. ISBN 3-211-82839-7. 
• R. Burtch, A Comparison of Methods Used in Rectangular to Geodetic Coordinate Transformations.
• Featherstone, W. E.; Claessens, S. J. (2008). „Closed-Form Transformation between Geodetic and Ellipsoidal Coordinates”. Stud. Geophys. Geod. 52 (1): 1—18. doi:10.1007/s11200-008-0002-6. hdl:20.500.11937/11589 . 
• Bowring, B. R. (1976). „Transformation from Spatial to Geographical Coordinates”. Surv. Rev. 23 (181): 323—327. doi:10.1179/003962676791280626. 
• Fukushima, T. (1999). „Fast Transform from Geocentric to Geodetic Coordinates”. J. Geod. 73 (11): 603—610. doi:10.1007/s001900050271.  (Appendix B)
• Sudano, J. J. (1997). „An exact conversion from an earth-centered coordinate system to latitude, longitude and altitude”. Proceedings of the IEEE 1997 National Aerospace and Electronics Conference. NAECON 1997. 2. стр. 646—650. ISBN 0-7803-3725-5. doi:10.1109/NAECON.1997.622711. 
• McPhail, Cameron (2011), Reconstructing Eratosthenes' Map of the World (PDF), Dunedin: University of Otago, стр. 20—24 
• Evans, James (1998), The History and Practice of Ancient Astronomy, Oxford, England: Oxford University Press, стр. 102—103, ISBN 9780199874453 
• „The International Meridian Conference”. Greenwich 2000 Limited. Wwp.millennium-dome.com. 9. 6. 2011. Архивирано из оригинала 6. 8. 2012. г. Приступљено 31. 10. 2012. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• „WGS 84: EPSG Projection -- Spatial Reference”. spatialreference.org. Приступљено 5. 5. 2020. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Bolstad, Paul. GIS Fundamentals (PDF) (5th изд.). Atlas books. стр. 102. ISBN 978-0-9717647-3-6. Архивирано из оригинала (PDF) 15. 10. 2020. г. Приступљено 07. 10. 2020. 
• „Making maps compatible with GPS”. Government of Ireland 1999. Архивирано из оригинала 21. 7. 2011. г. Приступљено 15. 4. 2008. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Spoljašnje veze

• Geographic coordinate system
• Coordinate systems and transformations (SPENVIS help page)
• Coordinate Systems, Frames and Datums
• Taylor, Chuck. „Locating a Point On the Earth”. Архивирано из оригинала 03. 03. 2016. г. Приступљено 4. 3. 2014. CS1 одржавање: Формат датума (веза)