Стоксова теорема

У математици и физици, Стоксова теорема или Келвин-Стоксова теорема, названа по Џорџу Габријелу Стоксу и Лорду Келвину је генерализација Гринове теореме у вишим димензијама. Позната је и као основна теорема ротације, а једна је од битнијих теорема у векторској анализи. Она повезује криволинијски интеграл око просте затворене криве C и двоструки интеграл над области С ограниченом са C, а такође повезује и дефиницију екстериорних извода са тополошким контурама у случају њене генерализације.

Теорема у тродимензионалном Р³ омотачу гласи:

Нека је С позитивно оријентисана, део по део, глатка површина ограничена једноставном, затвореном кривом C= ∂С и нека је Ф векторско поље које припада тој површини, онда је:

$\int \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\iint \limits _{S}\nabla \times {\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}$

За позитивну оријентацију криве сматра се орјентација у смеру супротном смеру казаљки на сату. Некада се црта кружић на симболу интеграла да се означи да је крива C затворена крива.

Интуиција доказа[уреди | уреди извор]

Као универзалнији приступ Гриновој теореми, интуиција иза Стоксове теореме говори да је укупна закривљеност над једним простором једнака закривљености на његовој граници.

Примена[уреди | уреди извор]

Стоксова теорема има бројних примена у физици, то јест механици флуида, иротационим векторским пољима, електромагнетизму, топологији,... Овде се разматра примена на Максвелове једначине, најбитније једначине електромагнетизма.

Максвелове једначине[уреди | уреди извор]

У електромагнетизму, Стоксова теорема омогућава проверу једнакости диференцијалних форми у Максвел-Фарадејевом и Максвел-Амперовом закону. Ако се примени на електрично поље Е у Фарадејевом закону гласи:

$\oint \limits _{\partial \Sigma }E\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times E\cdot dS$

У Амперовом закону применљива је на магнетно поље Б:

\oint \limits _{\partial \Sigma }B\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times B\cdot dS

Генерализација[уреди | уреди извор]

Генерализација Стоксове теореме на вишедимензионалне омотаче пружа математичко схватање контура и показује примену екстериорних извода (генерализује изводе на више димензије). Она гласи:

$\int \limits _{\partial t}{\vec {F}}=\int \limits _{t}d{\vec {F}}$

У нотацији ∂т означава контуру, а дФ екстериорни извод. Теорема показује супротност између контура и извода. Показује и да су диференцијални и инфинтезимални рачун у једној, две и три димензије, као и основна теорема диференцијалног и инфинтезималног рачуна само њени специјални случајеви.