Закривљеност

Приказ закривљености простор-времена.

У математици, закривљеност се односи на бројне, у малој мери повезане концепте из различитих области геометрије. Интуитивно, закривљеност је мера одступања геометријског објекта од равни, или праве у случају линије, али се то дефинише на различите начине у зависности од контекста.

Свака непрекидна крива може се апроксимирати кругом одређеног полупречника у околини дате тачке. Претпоставимо да је крива дата у равни. Полупречник круга који је додирује у тачки (x, y) и има исти први и други извод као и дата крива у тој тачки представља закривљеност криве. Кренимо од једначине круга са центром у тачки (p, q)

$\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}$ , (1)

где је r полупречник круга.

Диференцирањем ове једначине добијамо

$\left(x-p\right)+\left(y-q\right)y'=0$ , (2)

а још једним диференцирањем

$1+y'^{2}+\left(y-q\right)y''=0$ . (3)

Из (3) добијамо да је

$y-q=-\left(1+y'^{2}\right)/y''$, (4)

а враћањем овог резултата у (2) следи

$x-p=y'\left(1+y'^{2}\right)/y''$, (5).

Уврштавањем (4) и (5) у (1), добијамо да је полупречник (кривине) круга дат са:

$r=\left(1+y'^{2}\right)^{\left(3/2\right)}/\left|y''\right|$ , (6)

уз напомену да је r увек позитиван.

За све тачке на кругу, па тако и тачке дела криве коју круг апроксимира (додирна тачка и бесконачно мала околина) веза полупречника круга (закривљености) и првог и другог извода криве у тој тачки дата је једначином (6).

Уколико померимо координатни почетак у додирну тачку круга и криве и још поставимо x осу да се поклопи са тангентом криве у тој тачки, први извод постаје нула и једначина полупречника кривине (закривљености криве) се своди на:

$r=1/\left|y''\right|$ .

Из једначина (4) и (5) могу се за сваку тачку криве одредити координате центра круга закривљености p и q. Те тачке дефинишу нову криву која се назива центроида.

Литература

• Coolidge, J.L. "The Unsatisfactory Story of Curvature". The American Mathematical Monthly. 59 (6).  (Jun. - Jul., 1952), pp. 375-379
• Curvature at the Encyclopaedia of Mathematics
• Morris Kline: Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. 1998. ISBN 978-0-486-40453-0. стр. 457–461.(restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover. 1956. ISBN 978-0-486-20370-6. стр. 151–168.(restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner Verlag. 1996. ISBN 978-3-528-06475-4..