Asimptota

Asimptota je prava linija ili kriva A kojoj se druga kriva B (ona koju proučavamo) približava sve bliže kako idemo duž nje. Kako se kređemo duž B, razdaljina između nje i asimptote A teži da postaje sve manja i manje. Kriva može ali ne mora da dodirne svoju asimptotu. U stvari, kriva može da preseče asimptotu beskonačan broj puta, ali njeno maksimalno odstupanje od asimptote se smanjuje.

U grafu $f(x)={\tfrac {1}{x}}$, x i y ose su asimptote.

U grafu $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$, y osa (x = 0) i prava y = x su asimptote.

Asimptote i grafici funkcija

Asimptote se formalno definišu pomoću limesa.

Neka je f funkcija. Tada je prava y = a horizontalna asimptota za f ako

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$, ili $\lim _{x\to -\infty }f(x)=a.$

Intuitivno, ovo znači da f(x) može prići proizvoljno blizu a ako x učinimo dovoljno velikim. Koliko veliko je dovoljno veliko zavisi od toga koliko blizu želimo da budu f(x) i a. Ovo znači da će daleko duž krive, kriva biti vrlo blizu prave.

Ukoliko je

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$, i $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$

onda graf funkcije f ima dve horizontalne asimptote: y = a i y = b. Primer takve funkcije je arkustangens.

Prava x = a je vertikalna asimptota funkcije f ako bilo koji od sledećih uslova važi:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$

Intuitivno, ako je x = a asimptota za f, onda ako x prilazi a sa jedne strane, vrednost f(x) raste bez ograničenja; tj, f(x) postaje vrlo veliko (pozitivno ili negativno), i, u stvari, postaje veće od bilo koje zadate vrednosti.

Specifičan primer asimptota se može naći kod grafika funkcije f(x) = 1/x, kod koga se javljaju dve asimptote: horizontalna: y = 0 i vertikalna: x = 0.

f(x) može ali ne mora biti definisano u tački a: šta se sa funkcijom dešava tačno u tački x = a se ne tiče asimptote. Na primer, razmotrimo funkciju

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{, }}x>0,\\5&{\mbox{, }}x\leq 0\end{cases}}$

Kako $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$, f(x) ima vertikalnu asimptotu u 0, iako je $f(0)=5$.

Asimptote grafika funkcije ne moraju da budu paralelne x ili y osi, kao što se može videti na grafiku f(x)=x +1/x, koji ima za asimptote y osu, i pravu y = x. Kada asimptota nije paralelna x ili y osi, onda se ona naziva kosa asimptota. Ako je y = mx + b, bilo koja ne-vertikalna prava, onda funkcija f(x) ima asimptotu u njoj ako

$\lim _{x\to \infty }f(x)-(mx+b)=0$, ili $\lim _{x\to -\infty }f(x)-(mx+b)=0$

Grafik funkcije može da ima vertikalne, horizontalne i kose asimptote, kao na primer kod funkcije $y=x^{|x|/x}+1/x.$

Kriva može da preseče svoju asimptotu, čak i beskonačan broj puta.

Druga značenja

Za funkciju f(x) se može reći da je asimptotska funkciji g(x) kada x → ∞. Ovo može da ima neko od sledeća četiri različita značenja:

1. f(x) − g(x) → 0.
2. f(x) / g(x) → 1.
3. f(x) / g(x) ima limes različit od nule.
4. f(x) / g(x) je ograničeno i ne teži nuli. Vidi notacija velikog O.

Grafik funkcije može da ima dve horizontalne asimptote. Primer takve funkcije je $y=\arctan(x).$

Vidi još

• Asimptotska analiza
• Asimptotska kriva