Bijekcija

Bijektivna funkcija

U matematici, za funkciju f iz skupa X u skup Y se kaže da je bijektivna ako za svako y iz Y postoji tačno jedno x iz X, takvo da je f(x) = y.

Drugim rečima, f je bijekcija ako je ujedno i 1-1 (injekcija) i na (surjekcija) između ova dva skupa.

Na primer, bijektivna je funkcija „nasl“, definisana na skupu celih brojeva Z → Z, tako da svaki ceo broj x preslikava u ceo broj nasl(x) = x + 1. Drugi primer može biti funkcija „zbirazl“, koja svaki par realnih brojeva (x,y) preslikava u par zbirazl(x,y) = (x + y, x − y).

Bijektivna funkcija, ili bijekcija se takođe naziva i permutacijom. Ovaj naziv se uglavnom koristi kada je X = Y. Skup svih bijekcija iz X u Y se označava kao X${}\leftrightarrow {}$Y.

Bijektivne funkcije igraju važnu ulogu u mnogim oblastima matematike, na primer u definiciji izomorfizma.

Kompozicija i inverzija

Funkcija f je bijekcija akko je njena inverzna funkcija f ⁻¹ funkcija (a ne tek uopštena funkcija). U tom slučaju, f ⁻¹ je takođe bijekcija.

Kompozicija g o f dve bijekcije f$\;:\;$ X${}\leftrightarrow {}$Y i g$\;:\;$ Y${}\leftrightarrow {}$Z je bijekcija. Inverz g o f je (g o f)⁻¹ = (f ⁻¹) o (g⁻¹).

Bijekcija sastavljena od injekcije i surjekcije.

Sa druge strane, ako je kompozicija g o f dve funkcije bijekcija, možemo u opštem slučaju reći samo da je f injekcija, a g surjekcija.

Relacija f iz X u Y je bijekcija ako i samo ako postoji druga relacija g iz Y u X, takva da je g o f identitet na X, a f o g je identitet na Y. Takva dva skupa X i Y imaju istu kardinalnost.

Bijekcije i kardinalnost

Ako su X i Y konačni skupovi, tada postoji bijekcije između skupova X i Y akko X i Y imaju isti broj elemenata. U stvari, u aksiomatskoj teoriji skupova, ovo se i uzima kao definicija „istog broja elemenata“, i generalizacija ove definicije za beskonačne skupove dovodi do koncepta kardinalnih brojeva, koji su način da se razlikuju veličine beskonačnih skupova.

Primeri i kontraprimeri

• Za svaki skup X, identična funkcija id_X iz X u X, definisana kao id_X(x) = x, je bijekcija.
• Funkcija f iz skupa realnih brojeva R u R definisana kao f(x) = 2x + 1 je bijekcija, jer za svako y postoji jedinstveno x = (y − 1)/2 takvo da f(x) = y.
• Eksponencijalna funkcija g : R $\rightarrow$ R, sa g(x) = e^x, nije bijekcija: na primer, ne postoji x iz R, tavo da g(x) = −1, što pokazuje da g nije surjekcija. Međutim, ako se kodomen promeni u pozitivne realne brojeve R_>0 =]0,+∞), tada g postaje bijekcija; njen inverz je prirodni logaritam, ln.
• Funkcija h : R $\rightarrow$ [0,+∞) definisana kao h(x) = x² nije bijekcija: na primer, h(−1) = h(+1) = 1, što pokazuje da h nije injekcija. Međutim, ako se njen domen promeni u [0,+∞), tada h postaje bijekcija; njen inverz postaje funkcija pozitivnog kvadratnog korena.
• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ nije bijekcija, jer −1, 0, i +1 koji su svi u domenu preslikava u 0.
• $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ nije bijekcija, jer i π/3 i 2π/3 koji su u domenu preslikava u (√3)/2.

Svojstva

• Funkcija f iz R u R je bijekcija ako i samo ako bilo koja horizontalna linija preseca njen graf u tačno jednoj tački.
• Ako je X skup, onda bijektivne funkcije skupa X na samog sebe, zajedno sa operacijom kompozicije funkcija, grade grupu, simetričnu grupu skupa X, koja se označava S(X), S_X, ili X! (poslednje se čita "X faktorijel"). Dokazuje se da je svaka grupa G izomorfna nekoj podgrupi simetrične grupe S(G).
• Ako je f bijekcija, tada za svaki podskup A domena i svaki podskup B kodomena vredi f(A)| = |A| i f⁻¹(B)| = |B|.
• Ako su X i Y konačni skupovi iste kardinalnosti, i f: X → Y, tada su sledeći iskazi ekvivalentni:

1. f je bijekcija.
2. f je surjekcija.
3. f je injekcija.

Vidi još

• Injektivno preslikavanje
• Izomorfizam
• Permutacija
• Simetrična grupa
• Surjekcija