Brahistohrona

U matematici, krive brahistohrone (iz antičkog grčkog βράχιστος χρόνος, što znači "najkraće vreme"), su krive koje predstavaljaju kretanje tačke počevši iz stanja mirovanja do željene tačke za najkraće vreme, ako zanemarimo trenje i otpor vazduha. Problem brahistohrone je jedan od najstarijih problema u varijacioskoj matematici.

Značaj strme ravni

Kretanje niz strmu ravan

Kroz istoriju se mnogo poznatih naučnika bavilo izučavanjem strme ravni. Ona zapravo predstavlja jednostavnu ali vrlo korisnu fizičku mašinu. U raznim simulacijama strma ravan je važna zato što se njome opisuje klizanje, pod uticajem gravitacije, po raznim krivama. Naime, u računarstvu se krive uglavnom aproksimiraju poligonskim linijama, koje zapravo predstavljaju niz strmih ravni.

Sa slike „Kretanje niz strmu ravan“ možemo videti da na telo koje se kliza po strmoj ravni deluje više od jedne sile. Naime, na telo deluje gravitaciona sila $G=mg$ koja se razlaže kao $G=F_{p}+F_{n}$, gde je $F_{n}=mg\cos \theta$ komponenta normalna na strmu ravan, a $F_{p}=mg\sin \theta$ komponenta paralelna strmoj ravni. $\theta$ predstavljaa nagib strme ravni i $\theta \in (0,{\frac {\pi }{2}})$. Bitno je naglasiti da je kretanje tela ravnomerno ubrzano.

Sile $f$ i $N$ ćemo zanemariti jer ćemo posmatrati kretanje tela ne uzimajući u obzir sile trenja podloge i otpora sredine.

Vreme potrebno da telo pređe put od tačke "A" do "B"

Razmatraćemo slučaj kada je klizanje tela po strmoj ravni bez trenja. Posmatraćemo tačke $A(0,4)$ , $B(1,1)$ , $C(4,0)$.
Ovim primerom ćemo pokazati da je telu potrebno više vremena da se spusti niz strmu ravan $AB$, nego istom telu da se spusti niz „izlomljenu strmu ravan“ $ABC$. Uzeti da je gravitaciona konstanta $g=10{\frac {m}{s^{2}}}$, a ubrzanje računamo po formuli $a=g\cdot \sin a=const$. Primetimo da je nagib $AC$ jednak $\phi \;={\frac {\pi }{4}}$, odnosno $\sin \phi \ ={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ .
Nagib strme ravni$AB$ je određen sa $\sin \phi _{1}\ ={\frac {3}{\sqrt {10}}}$, a strme ravni $BC$ sa $\sin \phi _{2}\ ={\frac {3}{\sqrt {10}}}$ .
Brzina u tački $C$ biće jednaka u oba slučaja
$v_{c}={\sqrt {2g(h_{a}-h_{c})}}={\frac {2}{\sqrt {20}}}$.
Gde su $h_{a}$ i $h_{c}$ visine tačaka $A$ i $C$.

Za strmu ravan $AC$ ubrzanje je $a={\frac {5}{\sqrt {2}}}$, pa je potrebno vreme $t_{ac}={\frac {v_{c}}{a}}={\frac {2{\sqrt {10}}}{5}}s$.
Ubrzanje za strmu ravan $AB$ je $a_{1}={\frac {30}{\sqrt {10}}}=3{\sqrt {10}}$, brzina u tački $B$ je $v_{b}={\sqrt {2g(h_{a}-h_{b})}}=2{\sqrt {15}}$, pa je potrebno vreme $t_{ab}={\frac {\sqrt {6}}{3}}s$.
Konačno kretanje niz strmu ravan $BC$ je kretanje sa početnom brzinom $v_{b}=2{\sqrt {15}}$ i ubrzanjem $a_{2}={\sqrt {10}}$. Konačna brzina $v_{c}$ u tački $C$ se dostiže za $t_{bc}$ sekundi, gde na osnovu formule $v=v_{0}+at$, važi:
$2{\sqrt {20}}=v_{c}=v_{b}+a_{2}t_{bc}=2{\sqrt {15}}+{\sqrt {10}}t_{bc}$.

Odatle se dobija vreme kretanja $t_{bc}=(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})s$, od tačke $B$ do tačke $C$. Na osnovu izračunatog možemo proveriti da je
$t_{ac}$ ≈ $1.265>1.195$ ≈ $(t_{ab}+t_{bc})$.

U primeru je dokazano da će telo za kraće vreme stići od tačke A do tačke C ukolko se spušta niz „izlomljenu strmu ravan“, nego da se spuštalo niz strmu ravan AC.

Bernulijev problem

Brahistohrona

Johan Bernuli je 1696. postavio problem brahistohrone. Za proizvoljne zadane tačke A i B u vertikalnoj ravni, potrebno je odrediti jednačinu krive po kojoj bi se kretala materijalna tačka pod dejstvom gravitacione sile, tako da to rastojanje pređe za najkraće moguće vreme. Ta kriva je upravo cikloida, a problem je predstavljao začetak varijaciskog računa.

Vidi još

• Epicikloida
• Hipocikloida
• Trohoida

Literatura

• Tijana Šukilović, Srđan Vukmirović (2015). Geometrija za informatičare. Matematički fakultet, Beograd. 
• Aleksandar Lipkovski (2007). Linearna algebra i analitička geometrija. Zavod za udžbenike, Beograd. 

Spoljašnje veze

• Braxistohrona-MathWorld