Vektor

Za druge upotrebe, pogledajte Vektor (višeznačna odrednica).

Ukoliko ste tražili formalno matematički gledano, ispravan način za definisanje vektora, pogledajte članak Vektorski prostor.

Vektor u pravcu od A do B

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari. Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intenzitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

U matematici, fizici, i inženjerstvu, Euklidov vektor (koji se ponekad naziva geometrijskim ili prostornim vektorom, ili — kao što se to čini ovde — jednostavnom vektor) geometrijski je objekat koji ima magnitudu (ili dužinu) i smer. Vektori se mogu dodati drugim vektorima prema pravilima vektorske algebre. Euklidov vektor se često predstavlja linijskim segmentom sa određenim smerom, ili grafički kao strelica, koja povezuje početnu tačku A sa krajnjom tačkom B, i označava se sa ${\overrightarrow {AB}}.$

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, impuls, moment impulsa... Skalarne su masa, temperatura, zapremina... Fizičke veličine čija vektorska vrednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3×3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorske veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks prelamanja itd ... Vektor je ono što je neophodno za „prenošenje” tačke A do tačke B; latinska reč vector znači „nosilac”. Prvi su ga koristili astronomi iz 18. veka koji su istraživali planetarnu revoluciju oko Sunca.

Istorija

Koncept vektora kakav je danas poznat, razvijao se postepeno tokom više od 200 godina. Oko desetak ljudi dalo je značajan doprinos.

Giusto Belavitis je 1835. apstrahovao osnovnu ideju kada je uspostavio koncept ekvipolencije. Radeći u Euklidskoj ravni, on je učinio ekvipolentnim bilo koji par linijskih segmenata iste dužine i orijentacije. U suštini, ostvario je odnos ekvivalencije na parovima tačaka (bitačkama) u ravni i tako uspostavio prvi vektorski prostor u ravni.

Definicija

Vektor može biti definisan uređenim parom tačaka. Recimo da su to A i B iz Rⁿ. Tada je:

${\overrightarrow {AB}}=\left(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2},\dots ,B_{n}-A_{n}\right)$, a

${\overrightarrow {BA}}=\left(A_{1}-B_{1},A_{2}-B_{2},\dots ,A_{n}-B_{n}\right)$

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smer i intenzitetom:

${\overrightarrow {AB}}=A+||AB||\cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}}$

Ako ovde ||AB|| zamenimo sa λ koje može biti bilo koji broj iz R definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je λ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački A.

Ukoliko je λ neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB' ovo znači da važi:

${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AB'}}={\overrightarrow {0}}$

Nula-vektor

Nula-vektor a₀ je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

${\overrightarrow {a_{0}}}={\overrightarrow {0}},\;|{\overrightarrow {a_{0}}}|=0$

Jedinični vektor

Jedinični vektor (ort) je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor a se može odrediti odgovarajući jedinični vektor v istog pravca i smera.

${\overrightarrow {v}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\;{\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}$

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primer:

$a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}),\;a_{i}\in K$, $i=1,...,n$

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kⁿ, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vektora. Na primer a₁ je prva koordinata vektora, a₂ je druga koordinata vektora itd.

Slede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidskoj geometriji definiše kao kvadratni koren zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}$

$|a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora ${\overrightarrow {a}}\in K^{n}$ nekim skalarom $\alpha \in K$ je definisano kao množenje svake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

$\alpha \cdot {\overrightarrow {a}}$ = $\alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ = :$(\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).$

Sabiranje vektora

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora $a,b\in K^{n}\,$:

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})$

${\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})$

Njihovo sabiranje se definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

$+:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,$

${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}$,

$c_{i}=a_{i}+b_{i}\,$, gde je $i=1,...,n\,$

Pri čemu će vektor c biti iz prostora $K^{n}\,$. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})$

Pri čemu $-{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})$.

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz Kⁿ u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kⁿ bi proizvod k izgledao ovako:

$\cdot :(K^{n},K^{n})\rightarrow K$

$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}},k\in K$

$k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}$, gde je $i=1,\,\ldots \,,n$

Ovde treba primetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos \omega ,$

pri čemu je ω ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (E³) je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:

$\times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}\,$

${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}$

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=$

${\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$ ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Jer su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$, ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i :${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze E³.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledeće osobine:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.

$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \omega$, gde je :$\omega$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})$, tj. vektorski proizvod nije komutativan.

$(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})$, gde je $\alpha \in E$. Tj. vektorski proizvod se lepo ponaša prema množenju skalarom sleva.

Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E³ preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa

$[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]$

A po definiciji je:

$[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=$ ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},$ :${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}$

Što znači da je vrednost mešovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad njima. Slede neka osnovna svojstva mešovitog proizvoda:

• $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}]=[{\vec {c}},{\vec {a}},{\vec {b}}]$
• $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}]=-[{\vec {a}},{\vec {c}},{\vec {b}}]=-[{\vec {c}},{\vec {b}},{\vec {a}}]$
• $[\alpha {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=\alpha [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$
• $[{\vec {a_{1}}}+{\vec {a_{2}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {a_{1}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]+[{\vec {a_{2}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$

Vidi još

• Vektorski prostor
• Gram-Šmitov postupak za ortogonalizaciju skupa vektora

Literatura

• Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole. Zavod za udžbenike. Beograd. 2008.
• Apostol, Tom (1967). Calculus. Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5. 
• Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4, Arhivirano iz originala 6. 1. 2020. g., Pristupljeno 1. 6. 2020 .
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd izd.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4 .
• Ivanov, A.B. (2001). „Vector, geometric”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dynamics Online, Sunnyvale, California: OnLine Dynamics .
• Lang, Serge (1986). Introduction to Linear Algebra (2nd izd.). Springer. ISBN 0-387-96205-0. 
• Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0. 
• Aris, R. (1990). Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-66110-0. 
• Feynman, Richard; Leighton, R.; Sands, M. (2005). „Chapter 11”. The Feynman Lectures on Physics. Vol. I (2nd izd.). Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Online vector identities (PDF)
• Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)