Gama-funkcija

Gama-funkcija na intervalu realne ose.

U matematici, gama-funkcija je funkcija definisana nesvojstvenim integralom:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.$

Iz parcijalne integracije i izračunavanja integrala za $z=1$, dobija se izraz

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n!$

koji proširuje pojam faktorijela na kompleksne brojeve.

Definicija

Gama-funkcija $\Gamma (z)\,$ definisana je nesvojstvenim integralom za kompleksne brojeve $z\,$ za koje je $\Re (z)>0$ na sledeći način:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.$

Drugim rečima, gama-funkcija je Melinova transformacija funkcije $e^{-t}\,$. Parcijalnim integraljenjem se pokazuje sledeće njeno osnovno svojstvo:

$\,\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).$

Kako je $\Gamma (1)=1\,$, kombinovanjem ove i prethodne relacije dobija se:

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=n!,$

za sve prirodne brojeve n.

Sa druge strane, formulisana u obliku

$\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z\,$,

ona daje analitičko produženje početno definisanoj $\Gamma \,$-funkciji do poluravni $\Re (z)>-1$, sa polom u $z=0\,$, zatim do poluravni $\Re (z)>-2$, sa još jednim polom u $z=-1\,$, itd. Tako se $\Gamma \,$-funkcija produžuje do meromorfne funkcije, definisane za sve kompleksne brojeve $z\,$ osim polova u nepozitivnim celim brojevima $z=0,-1,-2,\ldots \$ Pod $\Gamma \,$-funkcijom se, po pravilu, podrazumeva ovako definisano produženje.

Osnovna svojstva

Gama-funkcija nije elementarna funkcija, ali su njena svojstva veoma dobro istražena zbog njene povezanosti sa faktorijelom i primene u teoriji brojeva. Među najvažnijima osobinama Gama-funkcije su funkcionalna jednačina

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}$

i Ležandrova duplikaciona formula

$\Gamma (2z)={\frac {2^{2z-1}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right).$

Gama-funkcija nema nula. U tačkama $z=-n\,$, gde je $n\,$ nenegativan ceo broj, gama-funkcija ima pol reda 1 sa ostatkom $(-1)^{n}/n!\,$; njeno ponašanje u okolini polova određeno je funkcionalnom jednačinom.

Za velike $|z|\,$, vrednosti $\Gamma (z)\,$ daje sa velikom preciznošću Stirlingova aproksimaciona formula:

$\Gamma (z)=z^{z-1/2}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}+\mathrm {O} \left({\frac {1}{z^{3}}}\right)\right)$

Za sve z gde je gama-funkcija definisana, važi i sledeći beskonačan proizvod

Modul gama-funkcije kompleksnog argumenta

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},$

gde je γ Ojlerova konstanta, koji se dobija kao Vajerštrasov proizvod funkcije $1/\Gamma (z)\,$, koja je cela jer gama-funkcija nema nula, i reda 1 prema Strilingovoj formuli. Nekad se zapravo za definiciju gama-funkcije uzima ovaj proizvod, ili neki od ekvivalentnih oblika

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}}.$

Valjda najpoznatija vrednost gama-funkcije za necelobrojne vrednosti argumenta je $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$, što se može videti npr. korišćenjem duplikacione formule. Ovaj rezultat daje i vrednost takozvanog integrala verovatnoće

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$

koji je od izuzetne važnosti u verovatnoći i statistici. Tako jednostavne formule nisu poznate već npr. za $\Gamma (1/n)\,$ ($n>2\,$). Za $\Gamma (1/3)\,$ i $\Gamma (1/4)\,$ je poznato da su transcendentni, kao i $\Gamma (1/2)\,$. Takođe, $\Gamma '(1)=-\gamma \,$.

Veoma retko koriste se i alternativne oznake $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,$ i $\pi (z)=1/\Pi (z)\,$. Tako je $\Pi (n)=n!\,$, dok je funkcija π cela.

Prema Bor-Molerupovoj teoremi, gama-funkcija je jedina logaritamski konveksna funkcija koja proširuje faktorijel na sve pozitivne brojeve.

Duplikaciona formula je specijalni slučaj sledeće Gausove teoreme o proizvodu:

$\Gamma (nz)={\frac {n^{nz-{\frac {1}{2}}}}{(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).$

Gama-funkcija je od izuzetnog značaja u matematičkoj analizi, verovatnoći i statistici, teoriji brojeva, kombinatorici i drugim oblastima matematike, te u fizici, tehnici i drugim oblastima.

Istorijat

Gama-funkciju prvi je posmatrao i izučavao Leonard Ojler, koji je dokazao i funkcionalnu jednačinu. Neki je nazivaju i Ojlerovim integralom druge vrste. Oznaku $\Gamma (z)\,$ je uveo Adrijan-Mari Ležandr, kome dugujemo duplikacionu formulu.

Indijski matematičar Ramanudžan dokazao je niz fascinantnih identiteta sa gama-funkcijom.

Uopštenja i veze sa drugim funkcijama

U integralu kojim se definiše $\Gamma \,$-funkcija, granice integracije su fiksirane. Često je poželjno posmatrati takav integral u kojem je donja ili gornja granica promenljiva (često u zavisnosti od z), tako se dobija nepotpuna gama-funkcija. Logaritamski izvod ponekad se naziva i digama-funkcijom. U statistici i drugde je od značaja višedimenziona gama-funkcija.

Sa apstraktne algebarske tačke gledišta, integral kojim se definiše gama-funkcija predstavlja konvoluciju multiplikativnog karaktera polja realnih brojeva ${\mathbb {R} }$ sa jednim fiksiranim aditivnim karakterom tog polja. Na taj način svoju gama-funkciju ima, na primer, svako algebarsko brojno polje, normirano lokalno polje, itd. U teoriji brojeva, takve gama-funkcije deo su funkcionalnih jednačina L-funkcija. Vidi još Rimanova zeta-funkcija.

Aproksimacije

Upoređivanje gama funkcije (plava linija) sa faktorijelom (plave tačke) i Stirlingovom aproksimacijom (crvena linija)

Kompleksne vrednosti gama funkcije mogu se izračunati numerički sa proizvoljnom preciznošću koristeći Stirlingovu aproksimaciju ili Lancošovu aproksimaciju.

Gama funkcija se može izračunati sa fiksnom preciznošću za $\operatorname {Re} (z)\in [1,2]$ primenom parcijalne integracije u Ojlerovom integralu. Za bilo koji pozitivni broj x može se napisati gama funkcija

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}$

Kad je Re(z) ∈ [1,2] i $x\geq 1$, apsolutna vrednost zadnjeg integrala je manja od $(x+1)e^{-x}$. Odabirom dovoljno velikog $x$, ovaj poslednji izraz može se učiniti manjim od $2^{-N}$ za bilo koju željenu vrednost $N$. Tako se gama funkcija može proceniti na $N$ bita preciznosti sa gorenavedenom serijom.

E.A. Karatsuba je konstruisao brz algoritam za izračunavanje Ojlerove gama funkcije za bilo koji algebarski argument (uključujući i racionalni).

Za argumente koji su celobrojni umnošci od 1/24, gama funkcija se takođe može brzo proceniti korišćenjem aritmetičko-geometrijskih srednjih vrednosti iteracija (pogledajte posebne vrednosti gama funkcije i Borwein & Zucker (1992)).

Aplikacije

Jedan autor opisuje gama funkciju kao „Argumentirano, najčešću specijalnu funkciju, ili najmanje 'posebnu' od njih. Druge transcendentalne funkcije […] nazivaju se 'posebne', jer biste neke od njih mogli izbeći držanjem podalje od mnogih specijalizovanih matematičkih tema. Sa druge strane, gama funkciju y = Γ(x) je najteže izbeći.”

Vidi još

• beta-funkcija
• hipergeometrijska funkcija.

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972). „Chapter 6”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 
• Andrews, G. E.; Askey, R.; Roy, R. (1999). „Chapter 1 (Gamma and Beta functions)”. Special Functions. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. 
• Artin, Emil (2006). „The Gamma Function”. Ur.: Rosen, Michael. Exposition by Emil Artin: a selection. History of Mathematics. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. 
• Askey, R.; Roy, R. (2010), „Gama-funkcija”, Ur.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Birkhoff, George D. (1913). „Note on the gamma function”. Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1): 1—10. MR 1559418. doi:10.1090/s0002-9904-1913-02429-7. 
• Böhmer, P. E. (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [Differential Equations and Definite Integrals]. Leipzig: Köhler Verlag. 
• Davis, Philip J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66: 849—869. doi:10.2307/2309786. 
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). „Section 6.1. Gamma Function”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 27. 10. 2021. g. Pristupljeno 16. 12. 2018. 
• Rocktäschel, O. R. (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments]. Dresden: Technical University of Dresden. 
• Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2. 
• Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). „Integrals of powers of loggamma”. Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2): 535—545. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 . 
• Borwein, J.; Bailey, D. H.; Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics. A. K. Peters. str. 133. ISBN 978-1-56881-136-9. 
• Davis, P. J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66 (10): 849—869. JSTOR 2309786. doi:10.2307/2309786. Arhivirano iz originala 07. 11. 2012. g. Pristupljeno 3. 12. 2016. 
• Remmert, R. (2006). Classical Topics in Complex Function Theory. Prevod: Kay, L. D. Springer. ISBN 978-0-387-98221-2. 
• Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms). Addison-Wesley. 

Spoljašnje veze

• NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• C++ reference for std::tgamma
• Examples of problems involving the gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Gamma function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• „Gamma”. Wolfram Functions Site. 
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages