Granična vrednost niza

Niz dat perimetrima pravilnih n-stranih mnogouglova koji opisuju jedinični krug ima granicu jednaku obimu kruga, tj. $2\pi r.$ Odgovarajući niz za upisane poligone ima isto ograničenje.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Kako pozitivni ceo broj $n$ postaje sve veći i veći, vrednost: $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ postaje proizvoljno blizu $1.$ Može se reći da je „ograničenje niza $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ jednako $1.$"

Granična vrednost niza $a_{n}$ ili limes niza $a_{n}$ realnih brojeva je neka tačka $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ako za svaku okolinu $U$ tačke $a$ postoji prirodan broj $n_{0}$, tako da $a_{n}\in U$ za sve brojeve $n>n_{0}$, tj. tako da počev od nekog, svi članovi niza pripadaju toj okolini.

U matematici, granica niza je vrednost kojoj termini niza „teže“, a često se označava simbolom $\lim$ (npr. $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). Ako takva granica postoji, niz se naziva konvergentnim. Za niz koji ne konvergira kaže se da je divergentan. Kaže se da je granica niza osnovni pojam na kome se na kraju zasniva cela matematička analiza.

Granice se mogu definisati u bilo kom metričkom ili topološkom prostoru, ali se obično prvo susreću u realnim brojevima.

Istorija

Grčki filozof Zenon iz Eleje poznat je po formulisanju paradoksa koji uključuju ograničavajuće procese.

Leukip, Demokrit, Antifon, Evdoks i Arhimed su razvili metodu iscrpljivanja, koja koristi beskonačan niz aproksimacija za određivanje površine ili zapremine. Arhimed je uspeo da sabere ono što se danas naziva geometrijskim redom.

Greguar de Sen-Vensan je dao prvu definiciju limita (terminusa) geometrijskog niza u svom delu Opus Geometricum (1647): „Kraj progresije je kraj niza, do kojeg nijedna progresija ne može doći, čak i ako ona se nastavlja u beskonačnost, ali kojoj se ona može približiti bliže od datog segmenta.“

Njutn se bavio serijama u svojim radovima Analiza sa beskonačnim serijama (napisano 1669, cirkulisano u rukopisu, objavljeno 1711.), Metoda fluksija i beskonačnih serija (napisano 1671, objavljeno u engleskom prevodu 1736, latinski original objavljen mnogo kasnije) i Tractatus de Quadratura Curvarum (napisan 1693, objavljen 1704. kao dodatak njegovoj Optici). U poslednjem radu, Njutn razmatra binomnu ekspanziju (x + o)ⁿ, koju zatim linearizuje uzimajući granicu kako o teži 0.

U 18. veku, matematičari kao što je Ojler uspeli su da saberu neke divergentne nizove zaustavljajući se u pravom trenutku; nije ih mnogo zanimalo da li granica postoji, sve dok se može izračunati. Krajem veka, Lagranž je u svojoj Théorie des fonctions analytiques (1797) izneo mišljenje da nedostatak strogosti onemogućava dalji razvoj računa. Gaus je u svojoj etidi hipergeometrijskih serija (1813) po prvi put rigorozno istražio uslove pod kojima je niz konvergirao do granice.

Modernu definiciju granice (za bilo koje ε postoji indeks N tako da ...) dali su Bernard Bolcano (Der binomische Lehrsatz, Prag 1816, što je tada bilo malo primećeno) i Karl Vajerštras tokom 1870-ih.

Definicija

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U$.

Granična vrednost konvergentnih nizova

Pored opšte definicije, granična vrednost za konvergentne nizove, tj. za nizove $a_{n}$ koji teže nekom $a$, gde je $a$ konačan broj, može se zapisati kao:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Granična vrednost divergentnih nizova

Pored opšte definicije, granična vrednost za divergentne nizove, nizove $a_{n}$ koji teže $a=\pm \infty$, može se zapisati kao:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Košijev niz

Glavni članak: Košijev niz

Plave tačkice prikazuju grafik Košijevog niza (x_n), čija se vrednost očitava na "y"-osi. I vizuelno se može videti da niz konvergira svojoj graničnoj vrednosti kad se n sve više i više povećava. U skupu realnih brojeva svaki Košijev niz je konvergentan.

Košijev niz, nazvan po istaknutom francuskom matematičaru Ogistenu Košiju je niz realnih brojeva (x_n) koji je definisan na sledeći način:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$.

Košijev niz je usko povezan sa pojmom granične vrednosti niza, jer svaki Košijev niz konvergira. Ako znamo da je neki niz Košijev, ne moramo uopšte da ga poznajemo niti kojoj će graničnoj vrednosti da teži, a unapred ćemo znati da ima konačnu graničnu vrednost.

Realni brojevi

Plavim tačkicama je prikazan grafik konvergentnog niza {a_n}. Može se i vizuelno videti da niz teži nuli kako n sve više i više odmiče ka beskonačnosti.

U realnim brojevima, broj $L$ je granica niza $(x_{n}),$ ako brojevi u nizu postaju sve bliži $L$, a ne bilo kom drugom broju.

Primeri

Vidi još: Spisak limita

• Ako je $x_{n}=c$ za konstantu c, onda $x_{n}\to c.$
• Ako je $x_{n}={\frac {1}{n}},$ onda $x_{n}\to 0.$
• Ako je $x_{n}=1/n$ kad je $n$ parno, i $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ kad je $n$ neparno, onda je $x_{n}\to 0.$ (Činjenica da je $x_{n+1}>x_{n}$ kad god je $n$ neparno je nebitno.)
• Za dati bilo koji realni broj, lako se može konstruisati niz koji konvergira tom broju uzimajući decimalne aproksimacije. Na primer, niz $0,3,0,33,0,333,0,3333,\dots$, konvergira $1/3.$ Treba imati na umu da je decimalna reprezentacija $0.3333...$ granica prethodnog niza, definisana pomoću
  $$0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}$$
• Pronalaženje granice niza nije uvek očigledno. Dva primera su $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ (čija je granica broj e) i aritmetičko-geometrijska sredina. Sendvič teorema je često korisna u uspostavljanju takvih granica.

Formalna definicija

Vrednost $x$ se naziva limit niza $(x_{n})$ ako važi sledeći uslov:

• Za svaki realan broj $\varepsilon >0,$ postoji prirodan broj $N$ takav da je za svaki prirodan broj $n\geq N,$ postoji $|x_{n}-x|<\varepsilon .$

Drugim rečima, za svaku meru bliskosti $\varepsilon ,$ uslovi sekvence su na kraju toliko blizu granice. Za sekvencu $(x_{n})$ se kaže da konvergira ili teži limitu $x,$ napisano $x_{n}\to x$ ili $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$

Simbolično, ovo je:

$$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right).$$

Ako niz $(x_{n})$ konvergira do neke granice $x,$ onda je konvergentan i $x$ je jedini limit; inače $(x_{n})$ je divergentan. Niz koji ima nulu kao granicu se ponekad naziva nultim nizom.

Ilustracija

• 
  Primer niza koji konvergira do granice $a.$
• 
  Bez obzira koje $\varepsilon >0$ se uzmve, postoji indeks $N_{0},$ takav da niz u potpunosti leži unutar epsilon cevi $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$
• 
  Takođe postoji za manji indeks $\varepsilon _{1}>0$ indeksa $N_{1},$ tako da je niz nakon njega unutar epsilon cevi $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$
• 
  Za svako $\varepsilon >0$ postoji samo konačno mnogo članova niza izvan epsilon cevi.

Osobine (realni brojevi)

Granice nizova se dobro ponašaju u odnosu na uobičajene aritmetičke operacije. Ako $a_{n}\to a$ i $b_{n}\to b,$ onda $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ i, ako ni b ni bilo koje $b_{n}$ nije nula, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}.$

Za bilo koju kontinuiranu funkciju f, ako je $x_{n}\to x$ onda je $f(x_{n})\to f(x).$ Zapravo, svaka funkcija f sa realnom vrednošću je kontinuirana ako i samo ako čuva granice nizova (iako to nije nužno tačno kada se koriste opštiji pojmovi kontinuiteta).

Neka druga važna svojstva granica realnih nizova uključuju sledeće (pod uslovom da u svakoj jednačini ispod granice sa desne strane postoje).

• Granica sekvence je jedinstvena.
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})$
• $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ provided $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
• Ako je $a_{n}\leq b_{n}$ za svako $n$ veće od nekog $N,$ onda je $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$
• (Sendvič teorema) Ako je $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ za svako $n>N,$ i $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L,$ onda je $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L.$
• Ako je niz ograničen i monoton, onda je konvergentan.
• Niz je konvergentan ako i samo ako je svaki podniz konvergentan.
• Ako svaki podniz niza ima svoj podniz koji konvergira u istu tačku, onda originalni niz konvergira u tu tačku.

Ova svojstva se u velikoj meri koriste za dokazivanje ograničenja, bez potrebe da se direktno koristi glomazna formalna definicija. Na primer, jednom kada se dokaže da je $1/n\to 0,$ postaje lako pokazati - koristeći svojstva iznad - da je ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (pretpostavljajući da $b\neq 0$).

Beskonačni limiti

Kaže se da niz $(x_{n})$ teži beskonačnosti, napisano $x_{n}\to \infty$ ili $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,$ ako za svako K postoji N takvo da za svako $n\geq N,$ $x_{n}>K$; to jest, članovi niza su na kraju veći od bilo kog fiksnog K.

Slično, $x_{n}\to -\infty$ ako za svako K postoji N takvo da je za svako $n\geq N,$ $x_{n}<K.$ Ako niz teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, onda je divergentan. Međutim, divergentni niz ne mora težiti plus ili minus beskonačnosti, a niz $x_{n}=(-1)^{n}$ daje jedan takav primer.

Vidi još

• Granična vrednost funkcije
• Nizovi
• Konvergentnost

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness (1893). A treatise on the theory of functions. New York: Macmillan. 
• Kirk, G. S., J. E. Raven, M. Schofield (1984) The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27455-9.
• Huggett, Nick (2010). „Zeno's Paradoxes”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Pristupljeno 2011-03-07. 
• Plato (1926) Plato: Cratylus. Parmenides. Greater Hippias. Lesser Hippias, H. N. Fowler (Translator), Loeb Classical Library. ISBN 0-674-99185-0.
• Sainsbury, R.M. (2003) Paradoxes, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48347-6.
• Skyrms, Brian (1983). „Zeno's Paradox of Measure”. Ur.: Cohen, R. S.; Laudan, L. Physics, Philosphy, and Psychoanalysis. Dordrecht: Reidel. str. 223—254. ISBN 90-277-1533-5. 
• Palmer, John (2008). „Zeno of Elea”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
• Grime, James. „Zeno's Paradox”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala 2018-10-03. g. Pristupljeno 2013-04-13. 
• Paul A. Fishwick, ur. (1. 6. 2007). „15.6 "Pathological Behavior Classes" in chapter 15 "Hybrid Dynamic Systems: Modeling and Execution" by Pieter J. Mosterman, The Mathworks, Inc.”. Handbook of dynamic system modeling. Chapman & Hall/CRC Computer and Information Science (hardcover izd.). Boca Raton, Florida, USA: CRC Press. str. 15—22 to 15—23. ISBN 978-1-58488-565-8. Pristupljeno 2010-03-05. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Lamport, Leslie (2002). Specifying Systems (PDF). Microsoft Research. Addison-Wesley. str. 128. ISBN 0-321-14306-X. Pristupljeno 2010-03-06. 
• Zhang, Jun; Johansson, Karl; Lygeros, John; Sastry, Shankar (2001). „Zeno hybrid systems” (PDF). International Journal for Robust and Nonlinear Control. 11 (5): 435. S2CID 2057416. doi:10.1002/rnc.592. Arhivirano iz originala (PDF) 11. 8. 2011. g. Pristupljeno 2010-02-28. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Franck, Cassez; Henzinger, Thomas; Raskin, Jean-Francois (2002). „A Comparison of Control Problems for Timed and Hybrid Systems”. Arhivirano iz originala 28. 5. 2008. g. Pristupljeno 2010-03-02. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Carroll, Lewis (1895-04-01). „What the Tortoise Said to Achilles”. Mind (na jeziku: engleski). IV (14): 278—280. ISSN 0026-4423. doi:10.1093/mind/IV.14.278. 

Spoljašnje veze

• A history of the calculus, including limits