U fizici i matematici , Grinova teorema daje odnos između krivolinijskog integrala oko proste zatvorene krive C i dvostrukog integrala nad oblasti D ograničenom sa C . [1] To je specijalni dvodimenzionalni slučaj opštije Stoksove teoreme , a dobila je ime po britanskom naučniku Džordžu Grinu .
Neka je C pozitivno orijentisana , deo po deo glatka , prosta zatvorena kriva u ravni i neka je D oblast ogranična krivom C . Ako L i M imaju neprekidne parcijalne izvode na otvorenoj oblasti koja sadrži D , onda
∫
C
L
d
x
+
M
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Nekada se crta kružić na simbolu za integral (
∮
C
{\displaystyle \oint _{C}}
) da se označi da je kriva C zatvorena (tada se integral naziva cirkulacijom ). Za pozitivnu orijentaciju , na ovom krugu se može nacrtati strelica u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu.
Dokaz kada je D prosta oblast [ uredi | uredi izvor ]
Ako je D prosta oblast čije se granice sastoje od krivih C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , može se demonstrirati Grinova teorema.
Sledi dokaz teoreme za pojednostavljenu oblast D, oblast tipa I gde su C2 i C4 vertikalne linije. Sličan dokaz postoji kada je D oblast tipa II, gde su C1 i C3 prave linije.
Ako se može pokazati da su iskazi
∫
C
L
d
x
=
∬
D
(
−
∂
L
∂
y
)
d
A
(
1
)
{\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }
i
∫
C
M
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
)
d
A
(
2
)
{\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }
tačni, onda se može dokazati Grinova teorema u prvom slučaju.
Oblast tipa I, D na slici desno, definisana sa:
D
=
{
(
x
,
y
)
|
a
≤
x
≤
b
,
g
1
(
x
)
≤
y
≤
g
2
(
x
)
}
{\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}
gde su g 1 i g 2 neprekidne funkcije . Izračunajmo dvostruki integral iz (1):
∬
D
(
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
=
∫
a
b
∫
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
[
∂
L
∂
y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
]
{\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]}
=
∫
a
b
{
L
[
x
,
g
2
(
x
)
]
−
L
[
x
,
g
1
(
x
)
]
}
d
x
(
3
)
{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} }
C se može zapisati kao unija četiri krive: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Kod C1 , koristimo parametarske jednačine : x = x , y = g 1 (x ), a ≤ x ≤ b . Tada
∫
C
1
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
{
L
[
x
,
g
1
(
x
)
]
}
d
x
{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}
Kod C 3 , koristimo parametarske jednačine: x = x , y = g 2 (x ), a ≤ x ≤ b . Tada
∫
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
−
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
2
(
x
)
)
]
d
x
{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}
Integral nad C 3 se negira, jer ide u negativnom pravcu od b do a , jer je C orijentisana pozitivno (u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu). Na C 2 i C 4 , x ostaje konstantno, što znači da
∫
C
4
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
C
2
L
(
x
,
y
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}
Stoga,
∫
C
L
d
x
{\displaystyle \int _{C}L\,dx}
=
∫
C
1
L
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
C
2
L
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
C
4
L
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx}
=
−
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
2
(
x
)
)
]
d
x
+
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
1
(
x
)
)
]
d
x
(
4
)
{\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} }
Kombinovanjem (3) sa (4), dobijamo (1). Na sličan način dobijamo (2).
^ „Grinova teorema, dokaz, primene i vežbe - Nauka - 2023” . warbletoncouncil (na jeziku: srpski). Pristupljeno 2023-02-05 .