Dvostruko klatno

U fizici i matematici, u oblasti dinamičkih sistema, dvostruko klatno je klatno koje ima pričvršćeno drugo klatno na njegovom kraju, formirajući jednostavan fizički sistem koji pokazuje bogato dinamičko ponašanje sa velikom osetljivošću na početne uslove . ^[1] Pokret dvostrukog klatna upravlja se nizom spojenih običnih diferencijalnih jednačina i haotično je .

Analiza i tumačenje[uredi | uredi izvor]

Možemo primetiti nekoliko varijanti dvostrukog klatna; dva kraka koja bi mogla biti jednake ili nejednake dužine i mase, zatim mogu biti prosta ili složena klatna (drugačije se nazivaju i kompleksna klatna) kao i kretanje koje može biti u tri dimenzije ili ograničeno na vertikalnu ravan. U sledećoj analizi, kraci se smatraju identičnim složenim klatnima dužine $l$ i mase $m$ , a kretanje je ograničeno na dve dimenzije.

Kretanje dvostrukog složenog klatna (iz numeričke integracije jednačina kretanja)

U složenom klatnu, masa se nalazi duž njegove dužine. Ako je masa ravnomerno raspoređena, onda je centar mase svakog kraka u njegovoj sredini, a krak ima moment inercije od $I = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/12ml2$ oko te tačke.

Korisno je koristiti uglove između svakog kraka i vertikale koje su predstavljene kao generalizovane koordinate koje definišu konfiguraciju sistema. Tako predstavljeni uglovi su označeni kao koordinate $θ 1$ i $θ 2$ . Položaj centra mase svakog štapa može da bude napisan na osnovu ove dve koordinate. Ako se predpostavlja da je početak Dekartovog koordinatnog sistema u tački suspenzije prvog klatna, onda se centar mase ovog klatna nalazi u:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}

,

a centar mase drugog klatna je na

{\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}

Ovo je dovoljno informacija da se napiše Lagranžijan.

Lagranžijan[uredi | uredi izvor]

Lagranžijan je

{\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

Prvi pojam je linearna kinetička energija centra mase tela, a drugi pojam predstavlja kinetičku energiju rotacije oko centra mase svakog štapa. Poslednji pojam jeste potencijalna energija tela u jednoličnom gravitacionom polju. Tačkasta notacija označava vremenski izvod promenljive koja se pominje.

Zamena gornjih koordinata i preuređenje jednačine daje

L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

Postoji samo jedna sačuvana količina (energija) i nema sačuvanih impulsa. Dva generalizovana momenta mogu biti napisane kao:

{\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}

Ovi izrazi se mogu obrnuti da bi se dobili

{\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}

Ove poslednje četiri jednačine su eksplicitne formule za vremensku evoluciju sistema s obzirom na njegovo trenutno stanje. Nije moguće^{[traži se izvor]} ići dalje i integrisati ove jednačine u izraz u zatvorenom obliku, da bismo dobili formule za $θ 1$ i $θ 2$ kao funkcije vremena. Međutim, ovu integraciju je moguće izvesti na numerički način, koristeći Runge Kutta metodu ili slične tehnike.

Haotično kretanje[uredi | uredi izvor]

Duga ekspozicija dvostrukog klatna koje pokazuje haotično kretanje (praćeno LED diodom)

Dvostruko klatno je prolazi kroz haotično kretanje i pokazuje da je osetljiv na zavisnost od početnih uslova. Slika desno pokazuje količinu vremena koje je prošlo pre nego što se klatno preokrenulo, kao funkciju početne pozicije kada je pušteno u mirovanju. Ovde se početna vrednost $θ 1$ kreće duž $x$ -smera od −3,14 do 3,14. Početna vrednost $θ 2$ se kreće duž $y$ -smera, od −3,14 do 3,14. Boja svakog od ovih piksela pokazuje da li se bilo koje klatno okreće unutar:

${\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (crno)
$10{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (crveno)
$100{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (zeleno)
$1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (plavo) ili
$10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (ljubičasto).

Početni uslovi koji ne dovode do preokreta unutar $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ su iscrtane belom bojom.

Granica središnjeg belog regiona je delimično definisana štednjom energije sa sledećom krivom:

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.

Unutar regiona definisanog ovom krivom, to je ako

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,

,

tada je energetski nemoguće da se bilo koje klatno okrene. Izvan ovog područja, klatno može okretati, ali pitanje određivanja, odnosno kada će se okrenuti je veoma složeno. Slično ponašanje se primećuje kod dvostrukog klatna koje je sastavljeno od dve tačke mase, umesto od dva štapa sa raspoređenom masom. ^[2]

Manjak prirodne frekvencije pobude doveo je do toda da se koristi sistem dvostrukog klatna u projektima seizmičke otpornosti u zgradama, gde je sama zgrada primarno obrnuto klatno, a sekundarna masa je povezana da kompletira dvostruko klatno.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Dvostruko obrnuto klatno
klatno (mehanika)
Udžbenici fizike iz sredine 20. veka koriste izraz „dvostruko klatno“ da označavaju jednu klatno okačenu za žicu koja je zauzvrat okačena na žicu u obliku slova V. Ovaj tip klatna, koji proizvodi Lisažuove krive, sada se naziva Blekbernovo klatno .

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). „Double Pendulum: An experiment in chaos”. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.
^ Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum^{[mrtva veza]}, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis (2nd izd.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8.
Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
Northwestern University, Double Pendulum Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. jun 2007), (Java applet simulation.)
Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Animacije i objašnjenja dvostrukog klatna i fizičkog dvostrukog klatna (dve kvadratne ploče) Majk Vitland (Univ. Sidnej)

Interaktivna fizika otvorenog koda JavaScript simulacija sa detaljnim jednačinama dvostrukog klatna
Interaktivna JavaScript simulacija dvostrukog klatna
Simulacija fizike dvostrukog klatna sa vvv.miphisicslab.com koristeći open source JavaScript kod
Simulacija, jednačine i objašnjenje Rotovog klatna
Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions na sajtu YouTube u
Simulator dvostrukog klatna - Simulator otvorenog koda napisan u C++ koristeći Qt alat .
Online Java simulator Arhivirano na sajtu Wayback Machine (16. avgust 2022) Imaginarne izložbe .

[1] Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). „Double Pendulum: An experiment in chaos”. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.

[2] Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum^{[mrtva veza]}, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

[1]

[2]