Imaginarni broj

Sve stepeni od i pretpostavljaju vrednosti iz plave oblasti

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

i je 4. koren jedinice

U matematici, imaginarni broj je kompleksni broj čiji je kvadrat negativan realan broj. Imaginarni brojevi imaju oblik $bi$, gdje je $b$ realan broj različit od nule i $i$ imaginarna jedinica za koju važi: $i^{2}=-1$. Kvadrat imaginarnog broja bi je −b². Na primer, 5i je imaginarni broj, a njegov kvadrat je −25. Po definiciji, nula se smatra i realnom i imaginarnom.

Prvobitno skovan u 17. veku od strane Renea Dekarta u derogativnom konetekstu i smatran izmišljenim ili beskorisnim, ovaj koncept je stekao široku prihvaćenost nakon radova Leonharda Ojlera (u 18. veku) i Ogistena Luja Košija i Karla Fridriha Gausa (početkom 19. veka).

Imaginarni broj $bi$ može biti dodat uz realan broj, formirajući tako kompleksni broj $z$ oblika $z=a+bi$, kod kojeg je $a$ „realan deo“, a $bi$ je „imaginarni deo“. Imaginarni brojevi se dakle mogu smatrati kao kompleksni brojevi kod kojih je „realan deo“ nula.

Istorija

Ilustracija kompleksne ravni. Imaginarni brojevi su na vertikalnoj koordinatnoj osi.

Grčki matematičar Heron iz Aleksandrije navodi se kao prvi koji je primetio imaginarne brojeve. Rafael Bombeli je 1572. godine definisao skup ovih brojeva i osnovne operacije sa njima. U to vreme, imaginarne brojeve su pojedinci smatrali kao fiktivne i bespotrebne. Mnogi drugi matematičari su bili spori u tome da prihvate upotrebu imaginarnih brojeva, kao što je bio Rene Dekart koji je pogrdno pisao o njima u svom radu „Geometrija“. Dekart je bio prvi koji je upotrebio pojam „imaginaran broj“ 1637. godine. Ova ideja nije bila široko prihvaćena sve do radova Leonarda Ojlera (1707-1783) i Karla Fridriha Gausa (1777-1855). Geometrijsku značajnost kompleksnih brojeva je prvi pronašao Kaspar Vesel (1745-1818).

Godine 1843, Vilijam Rouan Hamilton je proširio ideju ose imaginarnih brojeva u ravni na četvorodimenzionalni prostor kvaterniona imaginarija u kome su tri dimenzije analogne imaginarnim brojevima u kompleksnom polju.

Geometrijska reprezentacija

Kompleksni konjugat

Rotacija za 90 stepeni u kompleksnoj ravni

Geometrijski gledano, imaginarni brojevi se nalaze na vertikalnoj osi na kompleksnoj ravni. Kod broja 0 na $x$-osi, može se nacrtati $y$-osa sa pozitivnim pravcom nagore. Pozitivni imaginarni brojevi se povećavaju prema gore, dok se negativni smanjuju prema dole. Ova vertikalna osa se često naziva imaginarna osa i označava se kao "$i\mathbb {R}$", "$\mathbb {I}$" ili jednostavno kao "Im". and is denoted $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ or ℑ.

U ovoj reprezentaciji množenje sa -1 je jednako rotaciji od 180 stepeni u odnosu na koordinatni početak. Množenje sa $i$ je jednako rotaciji od 90 stepeni u "pozitivnom" pravcu (u pravacu suprotnom pravcu kazaljke na satu). Jednačina $i^{2}=-1$ se intrepretira kao dve rotacije od 90 stepeni u odnosu na koordinatni početak, što je isti rezultat kao jedna rotacija od 180 stepeni. Treba zapaziti da rotacija od 90 stepeni u negativnom pravcu (pravcem kazaklje na satu) isto zadovoljava ovu interpretaciju. Ovo potvrđuje činjenicu da $-i$ takođe rešenje jednačine $x^{2}=-1$.

Množenje kompleksnim brojem je isto kao rotiranje oko koordinatnog početka pomoću argumenta kompleksnog broja, nakon čega sledi skaliranje po njegovoj magnitudi.

Stepenovanje imaginarne jedinice

Stepenovanje imaginarnog broja $i$ se kružno ponavlja. Ovo se može videti u sledećem primeru gde $n$ predstavlja bilo koji broj:

• $i^{4n}=1$,
• $i^{4n+1}=i$,
• $i^{4n+2}=-1$,
• $i^{4n+3}=-i.$,

Ovo dovodi do zaključka da je $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$.

Kvadratni koreni negativnih brojeva

Neophodno je obratiti pažnju kada se radi sa imaginarnim brojevima koji su izraženi kao glavne vrednosti kvadratnog korena negativnih brojeva:

$6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.$

To se ponekad piše kao:

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.$

Zabluda se javlja kao jednakost ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ nije ostvariva kada promenljive nisu na odgovarajući način ograničene. U tom slučaju, jednakost ne važi jer su oba broja negativna, što se može pokazati na sledeći način:

${\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},$

gde su x i y pozitivni realni brojevi.

Vidi još

• Imaginarna jedinica
• Kompleksni broj

Literatura

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley. 
• Argand (1814). „Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise” [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (na jeziku: francuski). 5: 197—209. 
• Gauss, C. F. (1831). „Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.” [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (na jeziku: latinski). 7: 89—148. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4. 
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. 
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 13. 03. 2020. g. Pristupljeno 11. 07. 2022. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Bourbaki, Nicolas (1998). „Foundations of mathematics § logic: set theory”. Elements of the history of mathematics. Springer. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.  — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.  — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Spoljašnje veze

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
• Why Use Imaginary Numbers? Arhivirano na sajtu Wayback Machine (25. avgust 2019) Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers