Kocka
Kocka (pravilni heksaedar, od grč. hexáedron - telo sa šest površina) je jedan od pet pravilnih poliedara. Omeđena je sa šest stranica, kvadratnih površi spojenih tako da obrazuju telo sa dvanaest duži (ivica) i osam temena. Kocka je specijalan slučaj kvadra kome su sve stranice jednake. Posebne vrste kocke za igranje jesu kockice i Rubikova kocka.
Uopštenje[uredi | uredi izvor]
Kocka K u prostoru Rn se može definisati pomoću jedne tačke A = (a1, ..., an) iz Rn, dužine ivice kocke a, kao i sa n vektora v1, ..., vn koji čine jednu pozitivno orijentisanu ortonormiranu bazu Rn. Recimo da je svaka ivica kocke K paralelna sa tačno jednim različitim vektorom te baze, kao i da tačka A predstavlja početak koordinatnog sistema koga grade ovi vektori.
Svaka tačka X = (x1, ..., xn) kocke K onda može biti predstavljena na sledeći način:
Ukoliko se za vektore v1, ..., vn uzmu vektori koji čine kanonsku bazu Rn, dobija se:
Formule[uredi | uredi izvor]
Slede neke od češće korišćenih formula koje se vezuju za kocku.
Površina | |
Zapremina | |
Mala dijagonala[1] | |
Velika dijagonala | |
Poluprečnik upisane sfere | |
Poluprečnik opisane sfere |
Ortogonalne projekcije[uredi | uredi izvor]
Kocka ima četiri posebne ortogonalne projekcije, centrirane, na temenu, ivicama, licu i normalno na njenu figuru temena. Prvi i treći odgovaraju A2 i B2 Kokseterovim ravnima.
Centrirane sa | Lice | Teme |
---|---|---|
Kokseterove ravni | B2 |
A2 |
Projektivnoa simetrija |
[4] | [6] |
Nagnuti pogledi |
Sferno popločavanje[uredi | uredi izvor]
Kocka se takođe može predstaviti kao sferna pločica, i projektovana na ravan putem stereografske projekcije. Ova projekcija je konformna, čuva uglove, ali ne i površine ili dužine. Prave na sferi se projektuju kao kružni lukovi na ravan.
Ortografska projekcija | Stereografska projekcija |
---|
Dekartove koordinate[uredi | uredi izvor]
Za kocku sa centrom u koordinatnom poreklu, sa ivicama paralelnim sa osama i sa dužinom ivice od 2, kartezijanske koordinate vrhova su
- (±1, ±1, ±1)
dok se unutrašnjost sastoji od svih tačaka (x0, x1, x2) sa −1 < xi < 1 za svako i.
Ujednačene boje i simetrija[uredi | uredi izvor]
Kocka ima tri ujednačene obojenja, nazvane bojama kvadrata oko svakog temena: 111, 112, 123.
Kocka ima četiri klase simetrije, koje se mogu predstaviti temeno-tranzitivnim bojenjem lica. Najviša oktaedarska simetrija Oh ima sva lica iste boje. Diedralna simetrija D4h dolazi od toga što je kocka čvrsta, sa svih šest strana različite boje. Prizmatični podskup D2d ima isto obojenje kao i prethodni, a D2h ima naizmenične boje za svoje strane za ukupno tri boje, uparene sa suprotnih strana. Svaki oblik simetrije ima drugačiji Vitofov simbol.
Ime | Regularni heksaedar |
Kvadratna prizma | Pravougaona trapezoprizma |
Pravougaoni kuboid |
Rombna prizma |
Trigonalni trapezoedar |
---|---|---|---|---|---|---|
Kokseterov dijagram |
||||||
Šaflijev simbol |
{4,3} | {4}×{ } rr{4,2} |
s2{2,4} | { }3 tr{2,2} |
{ }×2{ } | |
Vajtofov simbol |
3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Simetrija | Oh [4,3] (*432) |
D4h [4,2] (*422) |
D2d [4,2+] (2*2) |
D2h [2,2] (*222) |
D3d [6,2+] (2*3) | |
Red simetrije |
24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Slika (jednobrazno obojenje) |
(111) |
(112) |
(112) |
(123) |
(112) |
(111), (112) |
Geometrijski odnosi[uredi | uredi izvor]
Kocka ima jedanaest mreža (jedna prikazana iznad): to jest, postoji jedanaest načina da se šuplja kocka spljošti sečenjem sedam ivica.[2] Da bi se obojila kocku tako da nijedna susedna lica nema istu boju, trebale bi najmanje tri boje.
Kocka je ćelija jedinog pravilnog popločavanja trodimenzionalnog euklidskog prostora. Takođe je jedinstven među Platonovim telima po tome što ima lica sa parnim brojem strana i, shodno tome, jedini je član te grupe koji je zonoedar (svako lice ima tačku simetriju).
Kocka se može iseći na šest identičnih kvadratnih piramida. Ako se ove kvadratne piramide zatim pričvrste na lica druge kocke, dobija se rombični dodekaedar (sa parovima komplanarnih trouglova kombinovanih u rombične površine).
Povezani poliedri[uredi | uredi izvor]
Količnik kocke sa Antipodalom mapom daje projektivni poliedar, hemikub.
Ako originalna kocka ima dužinu ivice 1, njen dvostruki poliedar (oktaedar) ima dužinu ivice .
Kocka je poseban slučaj u različitim klasama opštih poliedara:
Ime | Jednake dužine ivica? | Jednaki uglovi? | Pravi uglovi? |
---|---|---|---|
Kocka | Da | Da | Da |
Romboedar | Da | Da | Ne |
Kuboid | Ne | Da | Da |
Paralelepiped | Ne | Da | Ne |
četvorougaono okrenut heksaedar|Ne | Ne | Ne |
Temena kocke se mogu grupisati u dve grupe po četiri, od kojih svaka formira pravilan tetraedar; uopštenije, ovo se naziva demikub. Ova dva zajedno formiraju pravilno spajanje, stela oktangula. Presek ova dva formira pravilan oktaedar. Simetrije pravilnog tetraedra odgovaraju simetriji kocke koja svaki tetraedar preslikava na sebe; ostale simetrije kocke preslikavaju to dvoje jedno na drugo.
Jednolično saće i polihori[uredi | uredi izvor]
To je element od 9 od 28 konveksnog jednolikog saća:
Takođe je element pet četvorodimenzionalnih uniformnih polihora:
Teserakt |
Kantelirana 16-ćelija |
Ransinirani teserakt |
Kantizarubljena 16-ćelija |
Ransizarubljena 16-ćelija |
Reference[uredi | uredi izvor]
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
- Ljiljana Petruševski - Poliedri
- Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
- Grünbaum, B. (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4.
- Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. avgust 2016))
- Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
- Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
- Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
- Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
- Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
- Whitney, Hassler (1932). „Congruent graphs and the connectivity of graphs”. Amer. J. Math. 54 (1): 150—168. JSTOR 2371086. doi:10.2307/2371086. hdl:10338.dmlcz/101067.
- Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), „Puzzles and polytope isomorphisms”, Aequationes Mathematicae, 34 (2–3): 287—297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678
- Kalai, Gil (1988), „A simple way to tell a simple polytope from its graph”, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, 49 (2): 381—383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7
- Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). „On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems”. Graphs and Combinatorics. 19 (2): 215—230. arXiv:math/0106093 . doi:10.1007/s00373-002-0503-y. Arhivirano iz originala 2015-07-21. g.
- Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000). „Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study”. Polytopes — Combinatorics and Computation. str. 131. ISBN 978-3-7643-6351-2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6.
- Yao, Andrew Chi Chih (1981), „A lower bound to finding convex hulls”, Journal of the ACM, 28 (4): 780—787, MR 677089, doi:10.1145/322276.322289; Ben-Or, Michael (1983), „Lower Bounds for Algebraic Computation Trees”, Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '83), str. 80—86, doi:10.1145/800061.808735
- Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd izd.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
- Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617—642, doi:10.1080/00207390500064049.
- Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, Ur.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, str. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21.
- Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445—463, MR 2287486, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037.
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Duality of polyhedra”, Ur.: Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, str. 211—216, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15.
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208.
- Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Weisstein, Eric W. „Cube”. MathWorld.
- Cube: Interactive Polyhedron Model*
- Volume of a cube, with interactive animation
- Cube (Robert Webb's site)