Nesvojstveni integral

Nesvojstveni integral predstavlja uopštenje određenog integrala na neograničene intervale integracije i neograničene podintegralne funkcije.

Definicija

Nesvojstveni integral za funkciju $f\in R[a,c],\forall c<b$, ako postoji $\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)dx$, je integral $\int _{a}^{b}f(x)dx$ po definiciji jednak tom limesu, $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)dx$.

Za $f\in R[a,b]$, nesvojstveni integral jednak je Rimanovom, zbog neprekidnosti limesa.

Vrste integrala

Razlikuju se nesvojstveni integrali prve i druge vrste.

Nesvojstveni integrali prve vrste

Kod nesvojstvenih integrala prve vrste, podintegralna funkcija je definisana na beskonačnom intervalu integracije. U zavisnosti od intervala integracije, razlikuju se tri tipa nesvojstvenih integrala sa beskonačnim intervalom koji se definišu kao granične vrednosti, ali na različite načine:

• kada je interval integracije poluosa zatvorena sa leve strane, $[a,+\infty )$:

$\int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{\beta \to +\infty }\int _{a}^{\beta }f(x)dx$

• kada je interval integracije poluosa zatvorena sa desne strane, $(-\infty ,b]$:

$\int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{\alpha \to -\infty }\int _{\alpha }^{b}f(x)dx$

• kada je interval cela brojevna prava, $(-\infty ,+\infty )$:

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{\alpha \to -\infty ,\beta \to +\infty ,}\int _{\alpha }^{\beta }f(x)dx,$

gde granice integracie $\alpha$ i $\beta$ ka beskonačnosti teže nezavisno.

Nesvojstveni integrali druge vrste

Nesvojstveni integrali druge vrste su integrali kod kojih je interval integracije konačan, ali podintegralna funkcija neograničena u jednoj tački koja se naziva singularna tačka. Razlikuju se tri tipa nesvojstvenih integrala drugog reda u zavisnosti od položaja singularne tačke:

• kada je funkcija definisana u desno otvorenom intervalu, $[a,b)$, gde $\lim _{x\to b^{-}}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)dx$

• kada je funkcija definisana u levo otvorenom intervalu, $(a,b]$, gde $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$

• kada je funkcija definisana u celom intervalu $[a,b]$, izuzev u jednoj unutrašnjoj tački c, $a<c<b$, u kojoj je neograničena $\lim _{x\to c}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)dx+\lim _{\delta \to 0}\int _{c+\delta }^{b}f(x)dx$

Osobine

Prelaskom na limes kod osobina Rimanovih integrala, lako se dobijaju sledeće osobine nesvojstvenih integrala:

• $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx$
• $\int _{a}^{b}(\lambda f(x))dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)dx,\forall \lambda \in \mathbf {R}$
• $\int _{a}^{b}(u'(x)v(x))dx=\lim _{c\to b^{-}}(u(x)v(x)|_{a}^{c})-\int _{a}^{b}(u(x)v'(x))dx$, ako postoji barem jedan od ova tri izraza.

Košijev kriterijum za nesvojstvene integrale

Integral $\int _{a}^{c}f(x)dx$ postoji u nesvojstvenom smislu ⇔ $(\forall \epsilon >0)(\exists c_{0}\in [a,b])(\forall c_{1},c_{2}>c_{0})|\int _{c_{1}}^{c_{2}}f(x)dx|<\epsilon .$ Ovo se lako pokazuje iz Košijevog konvergencionog kriterijuma, gde se funkcija kojoj se određuje limes zamenjuje konkretnim nesvojstvenim integralom $\int _{a}^{c}f(x)dx$.

Vidi još

• Integral
• Prava vrednost integrala

Bibliografija

• Apostol, T (1974), Mathematical analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 .
• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2nd izd.), Jon Wiley & Sons .
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1st izd.), autarkaw.com 
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd izd.), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (objavljeno 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
• Cooper, Jeffery (2005), Working analysis, Gulf Professional 
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), A course in multivariable calculus and analysis, Springer