Racionalan broj

Racionalni brojevi ( $\mathbb {Q}$ ) su uključeni u realne brojeve ( $\mathbb {R}$ ), dok sami obuhvataju cele brojeve ( $\mathbb {Z}$ ), koji obuhvataju prirodne brojeve ( $\mathbb {N}$ )

U matematici, racionalan broj (ponekad u razgovoru upotrebljavamo razlomak) je broj koji se može zapisati kao odnos dva cela broja a/b, gde b nije nula.^[1] Na primer, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}−3/7$ je racionalan broj, kao i svaki ceo broj (npr. $5 = 5 / 1$ ). Skup svih racionalnih brojeva, koji se takođe nazivaju „racionalnim” vrednostima,^[2] polje racionalnih vrednosti^[3] ili polje racionalnih brojeva obično se označava podebljanim $Q$ (ili $\mathbb {Q}$ , unikod vrednošću U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q ili U+211A ℚ double-struck capital q);^[4] kako ga je 1895. označio Đuzepe Peano po reči quoziente, što je italijanski za „kvocijent“, a prvi put se pojavio u Burbakijevoj Algebri.^[5]

Svaki racionalan broj može biti napisan na beskonačan broj načina, na primer ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ . Najjednostavniji oblik je kada brojilac i imenilac nemaju zajedničkog delitelja (uzajamno su prosti), a svaki racionalan broj različit od nule ima tačno jednu jednostavnu formu sa pozitivnim imeniocem. Racionalni brojevi imaju decimalni razvoj sa periodičnim ponavljanjem grupa cifara. Ovde se računa i slučaj kada nema decimala ili kada se od nekog mesta 0 ponavlja beskonačno. Ovo je istinito za svaku celobrojnu osnovu veću od 1. Drugim rečima, ako je razvoj ispisa nekog broja u nekoj brojnoj osnovi periodičan, on je periodičan u svim osnovama, a broj je racionalan. Realan broj koji nije racionalan se zove iracionalan. Skup svih racionalnih brojeva, koji čine polje, označava se sa $\mathbb {Q}$ . Koristeći skupovnu notaciju $\mathbb {Q}$ se definiše kao: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$ gde je $\mathbb {Z}$ skup celih brojeva.

Decimalno proširenje racionalnog broja se bilo završava nakon konačnog broja cifara (primer: $3 / 4 = 0.75$ ), ili na kraju počinje da se ponavlja isti konačni niz cifara iznova i iznova (primer: $9 / 44 = 0.20454545...$ ).^[6] Nasuprot tome, svaka decimala koja se ponavlja ili završava predstavlja racionalan broj. Ovi iskazi su tačni u bazi 10, i u svakoj drugoj celobrojnoj bazi (na primer, binarnoj ili heksadecimalnoj).

Realan broj koji nije racionalan naziva se iracionalan.^[5] Iracionalni brojevi uključuju $\sqrt 2$ , $π$ , $e$ , i $φ$ . Decimalno proširenje iracionalnog broja se nastavlja bez ponavljanja. Pošto je skup racionalnih brojeva prebrojiv, a skup realnih nebrojiv, i skoro svi realni brojevi su iracionalni.^[1]

Racionalni brojevi se mogu formalno definisati kao klase ekvivalencije parova celih brojeva $(p, q)$ sa $q \neq 0$ , koristeći relaciju ekvivalencije definisanu na sledeći način:

\left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.

Razlomak $p / q$ tada označava klasu ekvivalencije $(p, q)$ .^[7]

Racionalni brojevi zajedno sa sabiranjem i množenjem čine polje koje sadrži cele brojeve i nalazi se u bilo kom polju koje sadrži cele brojeve. Drugim rečima, polje racionalnih brojeva je prosto polje, a polje ima karakteristiku nula ako i samo ako sadrži racionalne brojeve kao potpolje. Konačna proširenja $Q$ nazivaju se polja algebarskih brojeva, a algebarsko zatvaranje $Q$ je polje algebarskih brojeva.^[8]

Etimologija[uredi | uredi izvor]

Iako se danas racionalni brojevi definišu u vidu odnosa, termin racionalan nije izveden i reči ratio. Naprotiv, to je odnos koji je izveden iz racionalnog. Prva upotreba reči ratio sa njegovim savremenim značenjem je posvedočena na engleskom oko 1660. godine,^[9] dok se upotreba reči rational za kvalifikacione brojeve pojavila skoro vek ranije, 1570. godine.^[10] Ovo značenje racionalnog potiče od matematičkog značenja iracionalnog, koje je prvi put korišćeno 1551. godine, a korišćeno je u „prevodima Euklida (sledeći njegovu osobenu upotrebu ἄλογος)“.^[11]^[12]

Ova neobična istorija potiče od činjenice da su stari Grci „izbegli jeres tako što su sebi zabranili da misle o tim [iracionalnim] dužinama kao brojevima“.^[13] Dakle, takve dužine su bile iracionalne, u smislu nelogičnog, o čemu se „ne govori“ (ἄλογος na grčkom).^[14]

Aritmetika[uredi | uredi izvor]

Dva racionalna broja (razlomka) ${\frac {a}{b}}$ i ${\frac {c}{d}}$ su jednaki ako i samo ako važi $ad=bc\,$ .

Dva racionalna broja se sabiraju na sledeći način

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

Pravilo množenja glasi

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

Aditivni i multiplikativni inverzni element postoji kod racionalnih brojeva

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,

i

\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}

ako je

a\neq 0\,

Sledi da je količnik dva razlomka dat sa

{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}

Egipatski razlomci[uredi | uredi izvor]

Svaki pozitivni racionalni broj može biti predstavljen kao zbir različitih jediničnih razlomaka, kao što je

{\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.

Za svaki pozitivni racionalni broj postoji beskonačno mnogo načina da se broj ovako predstavi i to se zovu egipatski razlomci. Kod starih Egipćana je ovakav način predstavljanja bio osnova za sve matematičke radnje.

Formalna konstrukcija[uredi | uredi izvor]

Racionalni brojevi se mogu formirati kao klase ekvivalencije uređenih parova celih brojeva.^[7]^[15]

Tačnije, neka $(Z × (Z \ {0}))$ bude skup parova $(m, n)$ celih brojeva takvih da $n \neq 0$ . Relacija ekvivalencije je definisana na ovom skupu sa

\left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

^[7]^[15]

Sabiranje i množenje se mogu definisati sledećim pravilima:

\left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),

\left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).

^[7]

Ova relacija ekvivalencije je relacija kongruencije, što znači da je kompatibilna sa sabiranjem i množenjem definisanim gore; skup racionalnih brojeva $Q$ je definisan kao količnički set uspostavljen ovom relacijom ekvivalencije, $(Z × (Z \ {0})) / ~$ , opremljen sabiranjem i množenjem izazvanim gornjim operacijama. (Ova konstrukcija se može izvesti sa bilo kojim integralnim domenom i proizvodi njegovo polje razlomaka.)^[7]

Klasa ekvivalencije para $(m, n)$ označava se $m / n$ . Dva para $(m 1, n 1)$ i $(m 2, n 2)$ pripadaju istoj klasi ekvivalencije (to jest, ekvivalentni su) ako i samo ako je $m 1 n 2 = m 2 n 1$ . To znači da je $m 1 / n 1 = m 2 / n 2$ ako i samo ako je $m 1 n 2 = m 2 n 1$ .^[7]^[15]

Svaka klasa ekvivalencije $m / n$ može biti predstavljena sa beskonačno mnogo parova, pošto

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

Svaka klasa ekvivalencije sadrži jedinstveni kanonski reprezentativni element. Kanonski predstavnik je jedinstveni par $(m, n)$ u klasi ekvivalencije tako da su $m$ i $n$ međusobno prosti, a $n > 0$ . Ovo se naziva reprezentacija u najnižim terminima racionalnog broja.

Celi brojevi se mogu smatrati racionalnim brojevima koji identifikuju ceo broj $n$ sa racionalnim brojem $n / 1$ .

Totalni red se može definisati na racionalnim brojevima, što proširuje prirodni red celih brojeva. Postoji

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}

ako

(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\qquad {\text{или}}\qquad (n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).

Reference[uredi | uredi izvor]

^ ^a ^b Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th izd.). New York, NY: McGraw-Hill. str. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. str. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
^ Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Pristupljeno 1. 4. 2015. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ „Rational number”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ ^a ^b ^v ^g ^d ^đ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. str. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th izd.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. str. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.
^ Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2021-03-19.
^ Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (na jeziku: engleski). Arhivirano iz originala 21. 12. 2021. g. Pristupljeno 2021-03-20.
^ Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. str. 28.
^ ^a ^b ^v „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Pristupljeno 2021-08-17.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Cassels, J. W. S. (1986), Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31525-5, Zbl 0595.12006
Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012), Theory of Algebraic Functions of One Variable, History of mathematics, 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3 . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
Gouvêa, F. Q. (mart 1994), „A Marvelous Proof”, American Mathematical Monthly, 101 (3): 203—222, JSTOR 2975598, doi:10.2307/2975598 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic Numbers: An Introduction (2nd izd.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874.11002
Hazewinkel, M., ur. (2009), Handbook of Algebra, 6, North Holland, str. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979), „A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic”, SIAM Journal on Computing, 8 (2): 124—134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714 , doi:10.1137/0208011
Hensel, Kurt (1897), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6 (3): 83—88
Kelley, John L. (2008) [1955], General Topology, New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
Koblitz, Neal (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, London Mathematical Society Lecture Note Series, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439.12011
Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3
Bachman, George (1964), Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number Theory, Pure and Applied Mathematics, 20, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803
Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, 58 (2nd izd.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
Mahler, Kurt (1981), p-adic numbers and their functions, Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2nd izd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
Steen, Lynn Arthur (1978), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X
Houston-Edwards, Kelsey (19. 10. 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Rational number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
"Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)
Introduction to p-adic numbers

[Rosen-1] Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th izd.). New York, NY: McGraw-Hill. str. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382

[3] Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. str. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104

[4] Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Pristupljeno 1. 4. 2015. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[:0-5] Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[6] „Rational number”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[:1-7] v ^g ^d ^đ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. str. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.

[Gilbert-8] Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th izd.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. str. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.

[9] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.

[10] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.

[11] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.

[12] Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2021-03-19.

[13] Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (na jeziku: engleski). Arhivirano iz originala 21. 12. 2021. g. Pristupljeno 2021-03-20.

[14] Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. str. 28.

[:2-15] v „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Pristupljeno 2021-08-17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Normativna kontrola
Državne	Španija Francuska BnF podaci Nemačka Izrael Sjedinjene Države Letonija Češka
Ostale	Enciklopedija Britanika