Relacije neodređenosti

U kvantnoj mehanici, Hajzenbergov princip neodređenosti daje u obliku preciznih nejednakosti da određeni parovi fizičkih svojstava, kao što su pozicija i momenat, ne mogu da budu istovremeno poznati sa arbitrarno visokom preciznošću. Drugim rečima, što je preciznije jedno svojstvo izmereno, to se manje precizno drugo svojstvo može izmeriti.

Prvobitno uveden 1927. od strane nemačkog fizičara Vernera Hajzenberga, princip neizvesnosti kaže da što je preciznije određen položaj neke čestice, to se manje precizno može predvideti njen impuls iz početnih uslova, i obrnuto. U objavljenom radu iz 1927. Hajzenberg zaključuje da je princip neizvesnosti prvobitno bio $\Delta$p$\Delta$q ~ h koristeći punu Plankovu konstantu. Formalnu nejednakost koja se odnosi na standardnu devijaciju položaja σ_x i standardnu devijaciju momenta σ_p izveli su Erl Hese Kenard kasnije te godine i Herman Vejl 1928. godine.

Istorijski, princip nesigurnosti se mešao sa srodnim efektom u fizici, koji se naziva efekat posmatrača, koji primećuje da se merenja određenih sistema ne mogu vršiti bez uticaja na sistem, odnosno bez promene nečega u sistemu. Hajzenberg je koristio takav efekat posmatrača na kvantnom nivou (vidi dole) kao fizičko „objašnjenje“ kvantne nesigurnosti. Od tada je, međutim, postalo jasnije da je princip nesigurnosti inherentan svojstvima svih sistema sličnih talasima, i da nastaje u kvantnoj mehanici jednostavno zbog talasne prirode materije svih kvantnih objekata. Dakle, princip neizvesnosti zapravo navodi fundamentalno svojstvo kvantnih sistema i nije izjava o uspehu posmatranja trenutne tehnologije. Zaista, princip neizvesnosti ima svoje korene u tome kako se primenjuje račun za pisanje osnovnih jednačina mehanike. Mora se naglasiti da merenje ne podrazumeva samo proces u kome učestvuje fizičar-posmatrač, već pre bilo kakvu interakciju između klasičnih i kvantnih objekata bez obzira na bilo kog posmatrača.

Pošto je princip neodređenosti tako bazan rezultat u kvantnoj mehanici, tipični eksperimenti u kvantnoj mehanici rutinski posmatraju njegove aspekte. Određeni eksperimenti, međutim, mogu namerno testirati određeni oblik principa neizvesnosti kao deo svog glavnog istraživačkog programa. Ovo uključuje, na primer, testove odnosa broj-fazne nesigurnosti u sistemima superprovodljivosti ili kvantne optike. Primene koje zavise od principa nesigurnosti za njihov rad uključuju tehnologiju izuzetno niske buke, kao što je ona potrebna u interferometrima gravitacionih talasa.

Hajzenbergove relacije neodređenosti

Rezultat idealnog merenja u kvantnoj fizici je uvek karakterisan statističkom raspodelom. Standardna devijacija ove raspodele predstavlja neodređenost datog merenja i što je ona veća, to je veća i neodređenost. Klasična fizika pretpostavlja da je uvek moguće istovremeno meriti proizvoljan broj fizičkih veličina sa proizvoljno malim neodređenostima. Ova pretpostavka ne važi u kvantnoj fizici i u opštem slučaju takvo merenje više nije moguće te se stoga mora formulisati novi princip koji će dati vezu između neodređenosti istovremeno merenih veličina. Ovakav princip je istorijski prvi formulisao Verner Hajzenberg 1927. godine za položaj i impuls. Matematički formulisan on glasi

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~$

(ħ je redukovana Plankova konstanta, h / 2π).

tj. proizvod neodređenosti merenja položaja i impulsa je uvek veći ili jednak polovini redukovane plankove konstante. Ovo znači da što preciznije merimo položaj kvantnog objekta, istovremeno merenje impulsa će biti neodređenije i obrnuto. Uzrok ovog ponašanja ne leži u nesavršenosti mernih instrumenata ili opita već je reč o opštem matematičkom principu koji sledi iz međusobnog odnosa fizičkih veličina. Budući da je vrednost konstante na desnoj strani Hajzenbergove nejednakosti reda veličine 10^-35 Džul-sekundi relacije neodređenosti nisu značajne u makrosvetu.

Interpretacija

U svetlu čestično-talasnog dualizma relacije neodređenosti dobijaju svoju fizičku interpretaciju. Ako česticu posmatramo kao talas tada njegova amplituda odgovara položaju, a talasna dužina je obrnuto proporcionalna impulsu. U tom slučaju lokalizovanoj čestici odgovara talas sa oštrim vrhom i sa velikom amplitudom. Da bi se dobio tako oštar vrh neophodno je da talasna dužina bude mala što odgovara velikom impulsu i njegovoj velikoj neodređenosti.

Uopštenje relacija neodređenosti

Za opservable predstavljene operatorima ${\hat {A}}$ i ${\hat {B}}$ relacija koja povezuje njihove neodređenosti $\Delta A$ i $\Delta B$ u datom stanju sistema, glasi:

$\Delta A\Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle |$

, gde $\langle \rangle$ označava očekivanu vrednost u datom stanju. Ovaj stav je matematičke prirode i on pokazuje da su relacije neodređenosti inherentne strukturi kvantne mehanike.

Odavde se direktno uočava da se opservable čiji operatori komutiraju mogu istovremeno meriti sa proizvoljnom tačnošću.

Relacije neodređenosti za energiju i vreme

Druga poznata relacija neodređenosti se odnosi na energiju i vreme i ona je identična relaciji koja važi za položaj i impuls. Ona glasi

$\Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Međutim, ova relacija se ne može trivijalno izvesti iz opštih relacija neodređenosti budući da u nerelativističkoj kvantnoj mehanici vreme nije opservabla. Iako je Pol Dirak razvijajući svoju relativističku kvantnu mehaniku ponudio precizno i dobro definisano izvođenje koje vreme tretira simetrično sa ostalim koordinatima, danas je uobičajeno da se koristi sledeća rigoroznija relacija

$\Delta E{\frac {\Delta B}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

, gde $\tau _{B}={\frac {\Delta B}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}$ predstavlja minimalno vreme u toku kojega možemo uočiti promenu opservable B. Ovo minimalno vreme se uzima kao neodređenost vremena.

Literatura

• Amrein, W.O.; Berthier, A.M. (1977). „On support properties of L^p-functions and their Fourier transforms”. Journal of Functional Analysis. 24 (3): 258—267. doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8. 
• Benedicks, M. (1985), „On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure”, J. Math. Anal. Appl., 106: 180—183, doi:10.1016/0022-247X(85)90140-4 .
• Bonami, A.; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), „Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms.”, Rev. Mat. Iberoamericana, 19: 23—55, S2CID 1211391, doi:10.4171/RMI/337 .
• Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (1997), „The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey” (PDF), Journal of Fourier Analysis and Applications, 3 (3): 207—238, MR 98f:42006, S2CID 121355943, doi:10.1007/BF02649110 
• Hardy, G.H. (1933), „A theorem concerning Fourier transforms”, J. London Math. Soc., 8 (3): 227—231, doi:10.1112/jlms/s1-8.3.227 .
• Havin, V.; Jöricke, B. (1994), The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag .
• Heisenberg, W. (1927), „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”, Zeitschrift für Physik, 43 (3–4): 172—198, Bibcode:1927ZPhy...43..172H, S2CID 122763326, doi:10.1007/BF01397280 . English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press. . 1983. str. 62—84.  .
• Hörmander, L. (1991), „A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs”, Ark. Mat., 29 (1–2): 231—240, Bibcode:1991ArM....29..237H, S2CID 121375111, doi:10.1007/BF02384339 .
• Jaming, Ph. (2007), „Nazarov's uncertainty principles in higher dimension”, J. Approx. Theory, 149: 30—41, S2CID 9794547, doi:10.1016/j.jat.2007.04.005 .
• Mandelshtam, Leonid; Tamm, Igor (1945), „The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics”, Izv. Akad. Nauk SSSR (Ser. Fiz.), 9: 122—128 . English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249–254 (1945).
• Nazarov, F. (1994), „Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type”, St. Petersburg Math. J., 5: 663—717 .
• Sitaram, A (2001). „Uncertainty principle, mathematical”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Zheng, Q.; Kobayashi, T. (1996), „Quantum Optics as a Relativistic Theory of Light”, Physics Essays, 9 (3): 447—459, Bibcode:1996PhyEs...9..447Z, doi:10.4006/1.3029255 . Annual Report, Department of Physics, School of Science, University of Tokyo (1992) 240.
• W. Heisenberg (1930). Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig: Hirzel. 
• Bohr, Niels (1958). Atomic Physics and Human Knowledge. New York: Wiley. str. 38. 
• W. Heisenberg (1927). „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik. 43 (3–4): 172—198. Bibcode:1927ZPhy...43..172H. S2CID 122763326. doi:10.1007/BF01397280. 

Dodatna literatura

• Nikolić, Hrvoje (2007). „Quantum Mechanics: Myths and Facts”. Foundations of Physics. 37 (11): 1563—1611. Bibcode:2007FoPh...37.1563N. S2CID 9613836. arXiv:quant-ph/0609163 . doi:10.1007/s10701-007-9176-y. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Uncertainty principle”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Matter as a Wave Arhivirano na sajtu Wayback Machine (15. januar 2010) – a chapter from an online textbook
• Stanford Encyclopedia of Philosophy entry
• Fourier Transforms and Uncertainty at MathPages
• aip.org: Quantum mechanics 1925–1927 – The uncertainty principle Arhivirano 2010-02-16 na sajtu Wayback Machine
• Eric Weisstein's World of Physics – Uncertainty principle
• John Baez on the time–energy uncertainty relation
• The certainty principle
• Common Interpretation of Heisenberg's Uncertainty Principle Is Proved False