Srednje apsolutno odstupanje

Srednje apsolutno odstupanje (SAO) skupa podataka je prosek apsolutnih odstupanja od centralne tačke. To je zbirna statistika statističke disperzije ili varijabilnosti. U opštem obliku, centralna tačka može biti srednja vrednost, medijana, mod ili rezultat bilo koje druge mere centralne tendencije ili bilo koje referentne vrednosti u vezi sa datim skupom podataka. SAO uključuje srednju apsolutnu devijaciju i srednju apsolutnu devijaciju (oboje skraćeno kao MAD).

Mere disperzije

Nekoliko mera statističke disperzije definisano je u smislu apsolutnog odstupanja. Termin „prosečna apsolutna devijacija“ ne identifikuje jedinstveno meru statističke disperzije, jer postoji nekoliko mera koje se mogu koristiti za merenje apsolutnih odstupanja, a postoji i nekoliko mera centralne tendencije koje se takođe mogu koristiti. Dakle, da bi se jednoznačno identifikovala apsolutna devijacija, neophodno je navesti i meru odstupanja i meru centralne tendencije. Nažalost, statistička literatura još uvek nije usvojila standardnu notaciju, pošto su i srednja apsolutna devijacija oko srednje vrednosti i srednja apsolutna devijacija oko medijane u literaturi označeni inicijalima „MAD“, što može dovesti do zabune, jer uopšte, mogu imati vrednosti koje se međusobno značajno razlikuju.

Srednje apsolutno odstupanje oko centralne tačke

Srednja apsolutna devijacija skupa {h1, h2, ..., x_n} je:

$${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.$$

Izbor mere centralne tendencije $m(X)$ ima izražen uticaj na vrednost srednjeg odstupanja. Na primer, za skup podataka {2, 2, 3, 4, 14}:

Mera centralne tendencije $m(X)$	Srednje apsolutno odstupanje
Aritmetička sredina = 5	${\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3.6$
Medijana = 3	${\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}{5}}=2.8$
Mod = 2	${\frac {|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3.0$

Srednje apsolutno odstupanje oko srednje vrednosti

Srednja apsolutna devijacija (SAD), koja se takođe naziva „srednja devijacija“ ili ponekad „srednja apsolutna devijacija“, je srednja vrednost apsolutnih odstupanja podataka oko srednje vrednosti podataka: prosečna (apsolutna) udaljenost od srednje vrednosti. „Prosečno apsolutno odstupanje“ može da se odnosi ili na ovu upotrebu, ili na opšti oblik u odnosu na određenu centralnu tačku (vidi gore).

Predloženo je da se MAD koristi umesto standardne devijacije jer bolje odgovara stvarnom životu. Pošto je MAD jednostavnija mera varijabilnosti od standardne devijacije, može biti korisna u školskoj nastavi.

Tačnost prognoze ove metode je usko povezana sa metodom srednje kvadratne greške (MSE), koja je samo prosečna kvadratna greška prognoze. Iako su ove metode veoma blisko povezane, MAD se češće koristi jer ga je lakše izračunati (izbegavajući potrebu za kvadraturom) i lakše razumeti.

Maksimalno apsolutno odstupanje

Maksimalno apsolutno odstupanje oko proizvoljne tačke je maksimum apsolutnih odstupanja uzorka od te tačke. Iako nije striktno mera centralne tendencije, maksimalno apsolutno odstupanje se može naći korišćenjem formule za prosečnu apsolutnu devijaciju kao gore sa $m(X)=\max(X)$ gde je $\max(X)$ je maksimum uzorka.

Procena

Srednja apsolutna devijacija uzorka je pristrasna procena srednjeg apsolutnog odstupanja populacije. Da bi apsolutno odstupanje bilo nepristrasan procenjivač, očekivana vrednost (prosek) svih apsolutnih devijacija uzorka mora biti jednaka apsolutnoj devijaciji populacije. Međutim, nije. Za populaciju 1,2,3 i apsolutna devijacija populacije oko medijane i apsolutna devijacija populacije oko srednje vrednosti su 2/3. Prosek svih apsolutnih devijacija uzorka oko srednje vrednosti veličine 3 koja se može izvući iz populacije je 44/81, dok je prosek svih apsolutnih odstupanja uzorka oko medijane 4/9. Prema tome, apsolutno odstupanje je pristrasna procena.

Međutim, ovaj argument se zasniva na pojmu nepristrasnosti u sredini. Svaka mera lokacije ima svoj oblik nepristrasnosti (pogledajte unos o pristrasnoj proceni). Relevantan oblik nepristrasnosti ovde je srednja nepristrasnost.