Sferna trigonometrija

Sferni trougao

Sferna trigonometrija je trigonometrija sfernog trougla, tj. učenje o zavisnosti između stranica i uglova sfernog trougla. Za razliku od obične, ravanske trigonometrije, u sfernoj trigonometriji tri ugla trougla jednoznačno određuju njegov oblik i dimenzije.

Geometrija na kugli (sferi)

Geodezijska linija je „prava“ površi čija je geodezijska krivina u svakoj njenoj tački jednaka nuli. Dovoljno mali luci geodezijske linije su najkraći putevi te površi između svojih krajnjih tačaka. Tako geodezijske linije na površi igraju istu ulogu kao prave u ravni. Geodezijske linije na cilindru su zavojnice (linije zavrtanja), a na lopti to su veliki krugovi.

Geodezijske linije sfere

Presečemo li kuglu (loptu) ravninom kroz njeno središte, tačku O na slici desno (sl.1), na površini kugle (sfere) dobijamo tzv. glavnu kružnicu čiji poluprečnik je jednak poluprečniku sfere. To je velika kružnica date sfere. Kroz proizvoljne dve tačke A i B na kugli, s izuzetkom dijametralnih, možemo povući jednu veliku kružnicu. Njen manji luk AB je najkraća linija na kugli (u sferi) koja spaja te tačke; zovemo je geodezijska linija na kugli, i na kugli ima istu ulogu kao prava u ravni.

Merenje lukova i uglova na sferi

Dužina luka glavne kružnice $AB=\cup c\,$ sa centralnim uglom $\gamma \,$ (u radijanima), jednaka je $R\gamma ,\,$ gde je $R\,$ poluprečnik sfere (sl.2.). Za jednu istu sferu prikladno je za jedinicu merenja luka uzeti poluprečnik $R\,.$ Tada je $\cup c=\gamma .\,$ U narednim formulama primenjena je ta jedinica za merenje.

Sferni trougao

Centralni ugao sfere

Tri velike kružnice na sferi određuju nekoliko sfernih trouglova. Od njih posmatramo onaj (na slikama desno trougao ABC) kome svaka od tri stranice ima centralni ugao velike kružnice (sl.2, ugao AOB), manji od 180°, odnosno kome je svaki od unutrašnjih uglova manji od 180°.

Osnovne osobine sfernog trougla

• Zbir A+B+C unutrašnjih uglova sfernog trougla uvek je veći od 180°.
• Razliku (A+B+C)-π=δ, merenu u radijanima, nazivamo sferni eksces datog sfernog trougla.

Površina sfernog trougla i dvougla

• Površina sfernog trougla je $P=R^{2}\delta ,\,$, gde je R poluprečnik lopte, a δ je sferni eksces.
• Površina sfernog dvougla koji čine dva luka glavnih kružnica je $P_{2}=2R^{2}A,\,$ gde je ugao A izražen u radijanima.

Rešavanje sfernih trouglova

Naspram temena $A,B,C\,$ nalaze se lukovi, stranice sfernog trougla $a,b,c\,$. U temenima sfernog trougla nalaze se istoimeni uglovi.

Pravougli trougao

Neka su $a,b\,$ katete, a $c\,$ je hipotenuza pravouglog sfernog trougla ABC. To znači da tangente povučene na katete (lukove CA i CB) u tački (C) naspram hipotenuze grade prav ugao. Važe sledeći odnosi:

Neperovo pravilo

$\sin a=\sin c\sin A,\quad \sin b=\sin c\sin B,$

$\cos A=\cos a\sin B,\quad \cos B=\cos b\sin A,$

$\cos c=\cos a\cos b,\quad \cos c=\cot A\cot B,$

$\tan a=\sin b\tan A,\quad \tan b=\sin a\tan B,$

$\tan a=\tan c\cos B,\quad \tan b=\tan c\cos A.$

Ove formule možemo dobiti iz sledećeg Neperovog pravila:

Ako rasporedimo pet elemenata pravouglog trougla (bez pravog ugla) po kružnici, redom kako se oni nalaze u trouglu, i zamenimo katete $a,b$ s njihovim komplementarnim uglovima, tada:

• kosinus svakog elementa jednak je proizvodu kotangensa dvaju njemu susednih elemenata;
• kosinus svakog elementa jednak je proizvodu sinusa njemu suprotnih elemenata.

Na primer, $\cos A=\cot(90^{o}-b)\cot c,\;\cos(90^{o}-a)=\sin c\sin A.$

Kosougli trougao

Neka su $A,B,C\,$ uglovi sfernog trougla; $a,b,c\,$ su nasuprotne stranice. Tada važi:

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},\;$ "sinusna teorema";

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\;$

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a,\;$ "kosinusna teorema";

$\sin a\cot b=\cot B\sin C+\cos a\cos C;\,$

$\sin A\cot B=\cot b\sin c-\cos A\cos c.\,$