Tačne trigonometrijske konstante

Osnovno rešenje uglova jediničnog kruga čine množioci uglova 30 i 45 stepeni.

Tačni algebarski izrazi za trigonometrijske vrednosti su ponekad korisni, uglavnom za pojednostavljenje rešenja u složenim oblicima koji omogućavaju dalje pojednostavljenje.

Sve vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa uglova sa koracima od po 3° mogu se u potpunosti izvesti koristeći formule za poluuglove, dvostruke uglove i adicione formule za vrednosti za 0°, 30°, 36°, i 45°. Treba uočiti da je 1° = π/180 radijana.

Prema Nivenovoj teoremi, jedine racionalne vrednosti sinusne funkcije za koju je argument stepena ugla racionalan broj su vrednosti 0, 1/2, 1.

Fermaovi brojevi

Spisak u ovom članku je nepotpun zbog najmanje dva razloga. Prvo, uvek je moguće primeniti formulu za poluuglove da bismo pronašli tačan rezultat kosinusa jedne polovine svakog ugla na listi, onda polovinu tog ugla, itd. Drugo, ovaj članak obuhvata samo prva dva od pet poznatih Fermaovih prostih brojeva: 3 i 5, dok algebarske vrednosti takođe postoje i za kosinus od 2π/17, 2π/257 i 2π/65537. U praksi, sve vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa koje nisu nađene u ovom članku se približno određuju pomoću tehnika opisanih u Generisanju trigonometrijskih tabela.

Tabela konstanti

Vrednosti uglova van opsega [0°, 45°] su izvedeni trivijalno od ovih vrednosti, koristeći krug refleksije ose simetrije. (Videti trigonometrijske identitete.)

U narednim slučajevima, u kojima je određeni broj stepeni u vezi sa nekim pravilnim mnogouglom, odnos je taj da je broj stepeni u svakom unutrašnjem uglu mnogougla (n–2) puta veći od navedenog broja stepeni (gde je n broj stranica). Razlog tome je činjenica da je zbir uglova svakog n-tougla jednak 180°×(n–2), te je veličina svakog ugla u bilo kom pravilnom n-touglu jednaka 180°×(n–2)÷n. Tako, na primer, u slučaju "45°: kvadrat" znači da je, za n=4, 180°÷n = 45°, i da je broj stepeni bilo kog unutrašnjeg ugla kvadrata jednak (n–2)×45° = 90°.

0°: osnovno

$\sin 0=0\,$

$\cos 0=1\,$

$\tan 0=0\,$

$\cot 0{\text{ nije definisano}}\,$

3°: pravilan šezdesetougao

$\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]\,$

$\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]\,$

$\tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,$

$\cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,$

6°: pravilan tridesetougao

$\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]\,$

$\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]\,$

$\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}\right]\,$

9°: pravilan dvadesetougao

$\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,$

$\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,$

$\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$

12°: pravilan petnaestougao

$\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,$

$\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}\right]\,$

$\cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,$

15°: pravilan dvanaestougao

$\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)\,$

$\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)\,$

$\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,$

18°: pravilan desetougao

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,$

$\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,$

$\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$

21°: zbir 9° + 12°

$\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,$

$\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,$

$\tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,$

$\cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,$

22.5°: pravilan osmougao

$\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,$

$\tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,$

$\cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,$ (srebrni presek)/(bronzani presek)

24°: zbir 12° + 12°

$\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,$

$\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,$

$\tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\right]\,$

$\cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

27°: zbir 12° + 15°

$\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$

$\cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$

30°: pravilan šestougao

$\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,$

$\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,$

$\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,$

33°: zbir 15° + 18°

$\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,$

$\tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,$

$\cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,$

36°: pravilan petougao

$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\,$

$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,$

gde je $\varphi$ zlatni presek;

$\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\,$

39°: zbir 18° + 21°

$\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)]\,$

$\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)]\,$

$\tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,$

$\cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,$

42°: zbir 21° + 21°

$\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,$

$\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,$

$\tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$

$\cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})}{2}}\,$

45°: kvadrat

$\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$

$\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$

$\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,$

$\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,$

60°: jednakostraničan trougao

$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,$

$\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,$

$\tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,$

$\cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\,$

Primedbe

Upotrebe konstanti

Kao primer upotrebe ovih konstanti, razmotrimo dodekaedar naredne zapremine, gde je a dužina neke ivice:

$V={\frac {5a^{3}\cos {36^{\circ }}}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}$

Koristeći

$\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,$

$\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$

moguće je naredno uprošćenje:

$V={\frac {a^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{20}}\,$

Trouglovi izvođenja

Pravilan mnogougao (N-tougao) i njegov osnovni pravougli trougao. Ugao: a=180/n °

Izvođenja sinusnih, kosinusnih i tangensnih konstanti u radijalnim oblicima je zasnovano na konstruktibilnosti pravouglih trouglova.

Ovde se pri određivanju trigonometrijskih proporcija koriste pravougli trouglovi koji potiču od simetričnih odsečaka pravilnih mnogouglova. Svaki pravougli trougao predstavlja tri tačke u pravilnom mnogouglu: teme, središte stranice koja sadrži to teme i centar mnogougla. Svaki n-tougao može da se podeli na 2n pravouglih trouglova sa uglovima od {180/n, 90−180/n, 90} stepeni, za n koji su 3, 4, 5, ...

Konstruktibilnost 3, 4, 5, i 15-ostranih mnogouglova je osnova, a simetrale uglova omogućavaju izvođenje umnošci za po 2.

• Konstruktibilni
  • 3×2ⁿ-tostrani pravilni mnogouglovi, za n 0, 1, 2, 3, ...
    • 30°-60°-90° trougao: pravougli trougao (3-strani)
    • 60°-30°-90° trougao: šestougao (6-strani)
    • 75°-15°-90° trougao: dvanaestougao (12-strani)
    • 82.5°-7.5°-90° trougao: 24-strani
    • 86.25°-3.75°-90° trougao: 48-strani
    • ...
  • 4×2ⁿ-tougao
    • 45°-45°-90° trougao: kvadrat (4strani)
    • 67.5°-22.5°-90° trougao: osmougao (8-strani)
    • 78.75°-11.25°-90° trougao: šesnaestougao (16-strani)
    • ...
  • 5×2ⁿ-tougao
    • 54°-36°-90° trougao: petougao (5-strani)
    • 72°-18°-90° trougao: desetougao (10-strani)
    • 81°-9°-90° trougao: 20-strani
    • 85.5°-4.5°-90° trougao: 40-strani
    • 87.75°-2.25°-90° trougao: 80-strani
    • ...
  • 15×2ⁿ-tougao
    • 78°-12°-90° trougao: 15-strani
    • 84°-6°-90° trougao: 30-strani
    • 87°-3°-90° trougao: 60-strani
    • 88.5°-1.5°-90° trougao: 120-strani
    • 89.25°-0.75°-90° trougao: 240-strani
  • ... (Viši konstruktibilni pravilni poligoni ne daju celobrojne uglove: 17, 51, 85, 255, 257...)
• Nekonstruktibilni (sa celobrojnim ili polovinom celobrojnih veličina uglova) – Nijedan konačan izraz sa korenima nad realnim brojevima nije moguć za ove proporcije među stranicama trougla, te nisu mogući ni njihovi umnošci za po 2.
  • 9×2ⁿ-tougao
    • 70°-20°-90° trougao: devetougao (9-strani)
    • 80°-10°-90° trougao: 18-strani
    • 85°-5°-90° trougao: 36-strani
    • 87.5°-2.5°-90° trougao: 72-strani
    • ...
  • 45×2ⁿ-tostrani
    • 86°-4°-90° trougao: 45-strani
    • 88°-2°-90° trougao: 90-strani
    • 89°-1°-90° trougao: 180-strani
    • 89.5°-0.5°-90° trougao: 360-strani
    • ...

Izračunate trigonometrijske vrednosti za sinus i kosinus

Trivijalne vrednosti

U stepenima: 0, 30, 45, 60, i 90 mogu da se izračunaju iz odgovarajućih trouglova primenom Pitagorine teoreme.

n × π/(5 × 2^m)

Chord(36°) = a/b = 1/f, iz Ptolomejeve teoreme

Geometrijski metod

Primena Ptolomejeve teoreme na tetivan četvorougao ABCD definisan sa četiri uzastopna temena petougla, dobije se da je:

$\mathrm {crd} \ {36^{\circ }}=\mathrm {crd} \left(\angle \mathrm {ADB} \right)={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}},$

što je recipročan broj 1/φ od zlatnog preseka. Crd je dužina tetive sa centralnim uglom jednakim argumentu u jediničnom krugu:

$\mathrm {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}.\,$

Sledi

$\sin {18^{\circ }}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}.$

(Na drugi način, bez korišćenja Ptolomejeve teoreme, označimo sa X presek AC i BD, i razmatranjem uglova zaključimo da je AXB jednakokrak, te je AX = AB = a. Trouglovi AXD i CXB su slični jer su AD i BC paralelne. Zato XC = a·(a/b). Ali AX + XC = AC, te a + a²/b = b. Rešavanjem se dobije a/b = 1/φ, kao i gore).

Slično

$\mathrm {crd} \ 108^{\circ }=\mathrm {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},$

te sledi

$\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.$

Algebarski metod

Primenom formula za višestruke uglove se iz poznatih vrednosti trigonometrijskih funkcija od $5x\,$, gde $x\in \{18,36,54,72,90\}\,$ i $5x\in \{90,180,270,360,450\}\,$, mogu dobiti i vrednosti funkcija od $x$. Formule višestrukih uglova su:

$\sin {5x}=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x\,$,

$\cos {5x}=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,$.

• Za $\sin {5x}=0\,$ ili $\cos {5x}=0\,$, označimo $y=\sin x\,$ ili $y=\cos x\,$ i rešimo po $y\,$:

$16y^{5}-20y^{3}+5y=0\,$.

Jedno rešenje je nula, a rezultujuća jednačia četvrtog stepena može da se reši kao kvadratna po $y^{2}\,$.

• Za $\sin {5x}=1\,$ ili $\cos {5x}=1\,$, ponovo označimo $y=\sin x\,$ ili $y=\cos x\,$ i rešimo po $y\,$:

$16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0\,$,

što može da se rastavi:

$(y-1)(4y^{2}+2y-1)^{2}=0\,$.

n × π/20

9° je 45-36, i 27° je 45−18; te koristimo formule za sinus i kosinus razlike.

n × π/30

6° je 36-30, 12° je 30−18, 24° je 54−30, i 42° je 60−18; te koristimo formule za sinus i kosinus razlike.

n × π/60

3° je 18−15, 21° je 36−15, 33° je 18+15, i 39° je 54−15, te koristimo odgovarajuće adicione formule za sinus i kosinus.

Strategije za uprošćavanje izraza

Racionalisanje imenioca

Ako je imenilac kvadratni koren, pomnožiti brojilac i imenilac tim korenom.

Ako je imenilac zbir ili razlika dva člana, pomnožiti brojilac i imenilac konjugatom imenioca. Konjugat imenioca je identičan imeniocu izuzev promene u znaku između članova.

Nekada je neophodno višestruko racionalisanje imenioca.

Podela razlomka na dva dela

Nekada je korisna podela razlomka na zbir dva, nakon čega se oni zasebno uproste.

Kvadriranje i korenovanje

Ako postoji komplikovan član, pri čemu postoji samo jedna vrsta korena, ovakva ideja može da pomogne. Kvadrira se član, kombinuju se slični članovi, a zatim se odredi kvadratni koren. Ovo može da da koren unutar korena, ali je uglavnom bolji oblik od polaznog.

Uprošćavanje izraza sa ugnježdenim korenovima

Glavni članak: Nested radical

U opštem slučaju nije moguće uprošćavanje ugnježdenih korenova.

Međutim, ako je za ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}\,$,

$R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,$

racionalno, a oba broja

$d=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2}}}{\text{ and }}e=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2c}}}\,$

sz takođe racionalnni, uz odgovarajući izbor četiri ± znaka, sledi

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}.\,$

Na primer,

$4\sin {18^{\circ }}={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1.\,$

Vidi još

• Trigonometrijske funkcije
• Konstrukcija sedamnaestougla

Literatura

• Weisstein, Eric W. „Constructible polygon”. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. „Trigonometry angles”. MathWorld. 
  • π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
  • π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
  • π/7 — π/14
  • π/9 (20°) — π/18 (10°)
  • π/11
  • π/13
  • π/15 (12°) — π/30 (6°)
  • π/17
  • π/19
  • π/23
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3”. Int. J. Quantum Chemistry. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803. 
• Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. arXiv:math-ph/9812019 . 
• Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. Disc. and Comp. Geom. 22 (3): 321–332. MR 1706614. doi:10.1007/PL00009463. 
• Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n”. Acta Arithmetica. 81: 387–398. MR 1472818. 
• Gurak, S. (2006). „On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers”. Mathematics of Computation. 75 (256): 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. MR 2240647. doi:10.1090/S0025-5718-06-01885-0. 
• Servi, L. D. (2003). „Nested square roots of 2”. Am. Math. Monthly. 110 (4): 326–330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881. 

Spoljašnje veze

• Constructible Regular Polygons
• Naming polygons
• Sine and cosine in surds obuhvata alternativne izraze u nekim slučajevima, kao i izraze za neke druge uglove