Topološki prostor

Topološki prostori su matematičke strukture koje omogućavaju formalnu definiciju pojmova kao što su konvergencija, povezanost i neprekidnost. Oni se javljaju u praktično svim granama moderne matematike. Grana matematike koja proučava same topološke prostore se naziva topologija.

Topološki prostor je najopštiji tip matematičkog prostora koji omogućava definisanje granica, kontinuiteta i povezanosti. Uobičajeni tipovi topoloških prostora uključuju euklidske prostore, metričke prostore i mnogostrukosti.

Definicija

Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcije podskupova od X (podskup partitivnog skupa X) u oznaci $\tau$, koji zadovoljavaju sledeće osobine:

1. prazan skup i X nalaze se u $\tau$.
2. unija svih kolekcija skupova iz $\tau$ je takođe skup u $\tau$.
3. presek svake konačne kolekcije skupova iz $\tau$ je takođe u $\tau$.

Kolekcija $\tau$ se naziva topologijom nad X. Elementi skupa X se obično nazivaju tačkama, mada mogu biti proizvoljni matematički objekti. Topološki prostor u kome su tačke predstavljene nekim funkcijama, naziva se funkcionalni ili funkcijski prostor.

Skupovi u $\tau$ su otvoren skupovi, a njihovi komplementi u X su zatvoreni skupovi. Proizvoljni podskup od X može biti otvoren, zatvoren, i otvoren i zatvoren istovremeno ili niti otvoren, niti zatvoren.

Pokrivač skupa X je skup podskupova u X takav da njihova unija daje ceo skup X. Pokrivač skupa je otvoren, ako se sastoji od otvorenih skupova.

Okolina tačke x je svaki skup koji sadrži otvoren skup u kojem se nalazi x. Sistem okoline na x se sastoji od svih okolina od x. Topologiju može da odredi skup aksioma koje se tiču svih sistema okolina.

Četiri primera i dva kontraprimera topologija nad skupom od tri tačke, {1, 2, 3}. Donji levi primer nije topologija jer nedostaje {2,3}, unija {2} i {3}; donji desni primer nije topologija jer nedostaje {2} presek {1,2} i {2,3}.

• Specijalni topološki prostori u zavisnosti od topologije $\tau$:

1. Trivijalna topologija je topologija koju čine samo proizvoljan skup X i kolekcija $\tau$ = {$\emptyset$, X} koja se sastoji od samo dva obavezna podskupa koji moraju da je čine po definiciji topološkog prostora, od praznog i celog skupa.
2. Diskretna topologija je topologija koja se sastoji od proizvoljnog skupa X i kolekcije $\tau$= P(X), koja je najveći mogući podskup partitivnog skupa od X, tj. ovde je topologija ceo partitivni skup od X.
3. Kod beskonačnih skupova, kada je npr. X = ${\mathit {Z}}$ i kolekcija $\tau$ je jednaka uniji svih konačnih podskupova celih brojeva i celog skupa ${\mathit {Z}}$, ovako formirani uređeni par nije topološki prostor, jer $\tau$ nije topologija, pošto postoje beskonačni skupovi elemenata iz Х koji se ne nalaze u $\tau$.

Ekvivalentne definicije

Osim navedene definicije, ekvivalentni topološki prostor se može definisati i preko zatvorenih skupova:

Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcije $\tau$ podskupova od X koji zadovoljavaju sledeće aksiome:

1. Prazan skup i X su u $\tau$.
2. Presek svake kolekcije skupova iz $\tau$ je takođe u $\tau$.
3. unija svakog para skupova iz $\tau$ je takođe u $\tau$.

Ekvivalentnost definicija topološkog prostora preko otvorenih i zatvorenih skupova se dobija preko de Morganovih zakona, kada aksiome koje definišu otvorene skupove postaju aksiome koje definišu zatvorene skupove:

1. Prazan skup i X su zatvoreni.
2. Presek svake kolekcije zatvorenih skupova je takođe zatvoren.
3. Unija svakog para zatvorenih skupova je takođe zatvorena.

Po ovoj definiciji topološkog prostora, skupovi u topologiji $\tau$ su zatvoreni skupovi, a njihovi komplementi u X su otvoreni skupovi.

Još jedan način za definisanje topološkog prostora je korišćenjem aksioma zatvorenosti Kuratovskog, koje definišu zatvorene skupove kao fiksne tačke operatora nad partitivnim skupom od X.

Poređenje topologija

Nad istim skupom može postojati više topologija $\tau$ tako da grade različite topološke prostore.

Topologija $\tau _{1}$ je grublja (manja, slabija) od $\tau _{2}$, odnosno, topologija $\tau _{2}$ je finija (veća, jača) od topologije $\tau _{1}$ ako važi da je svaki skup iz topologije $\tau _{1}$ istovremeno sadržan u topologiji $\tau _{2}$. Ovakvo poređenje topologija se zapisuje: $\tau _{1}$ > $\tau _{2}$.

Dokaz koji se oslanja samo na postojanje određenih otvorenih skupova će ujedno važiti i na finijoj topologiji, i slično, dokaz koji se oslanja samo na to da određeni skupovi nisu otvoreni će važiti i na svakoj grubljoj topologiji.

Neprekidne funkcije

Za funkciju između dva topološka prostora se kaže da je neprekidna ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa otvorena.

Homeomorfizam je bijekcija koja je neprekidna i čiji je i inverz takođe neprekidan. Za dva prostora se kaže da su homeomorfna ako postoji homeomorfizam između njih. Sa gledišta topologije, homeomorfni prostori su u suštini identični.

Vidi još

• Topologija
• Morfizam
• Homomorfizam
• Homeomorfizam
• Vektorski prostor
• Funkcionalni prostor

Literatura

• Armstrong, M. A.; Osnovna topologija (Basic Topology), Springer; prvo izdanje (1. maj, 1997). Armstrong, M. A. (maj 1997). Basic Topology. Springer. ISBN 978-0-387-90839-7. CS1 održavanje: Format datuma (veza).
• Bredon, Glen E., Topologija i geometrija (Topology and Geometry) (Tekstovi iz matematike, postdiplomske studije), Springer; (17. oktobar 1997). Bredon, Glen E. (24. 6. 1993). Topology and Geometry (1st izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97926-7. CS1 održavanje: Format datuma (veza).
• Fulton, William, Algebarska topologija (Algebraic Topology), (Tekstovi iz matematike, postdiplomske studije), Springer; prvo izdanje (5. septembar, 1997). Fulton, William (5. 9. 1997). Algebraic Topology: A First Course. Springer. ISBN 978-0-387-94327-5. CS1 održavanje: Format datuma (veza).
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; prvo izdanje (1. jun, 1968). Lipschutz, Seymour (1965). Schaum's Outline of General Topology. McGraw Hill Professional. ISBN 978-0-07-037988-6. .
• Munkres, James; Topologija (Topology), Prentice Hall; drugo izdanje (28. decembar, 1999). Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-0-13-181629-9. .
• Runde, Volker; Ukus topologije (univerzitetski tekst) A Taste of Topology (Universitext), Springer; prvo izdanje (6. jul, 2005). Runde, Volker (7. 12. 2007). A Taste of Topology. Springer. ISBN 978-0-387-25790-7. CS1 održavanje: Format datuma (veza).
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December (1989) ISBN 3-88538-006-4.
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ur.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. 
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, (2000) ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. 
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 
• Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Hermann (original), Addison-Wesley (translation) 
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics: Theory of sets, Hermann (original), Addison-Wesley (translation) 
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98638-8, doi:10.1007/b97680 .
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ur. (2008), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2 
• Itô, Kiyosi, ur. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (second izd.), Mathematical society of Japan (original), MIT press (translation) 
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th izd.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., str. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518 
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0. 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
• Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd izd.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, str. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561 
• Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4 
• Bryant, Victor (1985). Metric spaces: Iteration and application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1. 
• Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188 
• Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
• Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175 
• Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, str. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9 
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, str. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163 
• Gromov, Mikhael (2007). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3. 
• Heinonen, Juha (2001). Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer. ISBN 0-387-95104-0. 
• Heinonen, Juha (24. 1. 2007). „Nonsmooth calculus”. Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (2): 163—232. doi:10.1090/S0273-0979-07-01140-8 . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233 
• Pascal Hitzler; Anthony Seda (19. 4. 2016). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Lawvere, F. William (decembar 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID 1845177. doi:10.1007/BF02924844. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Margalit, Dan; Thomas, Anne (2017). „Office Hour 7. Quasi-isometries”. Office hours with a geometric group theorist. Princeton University Press. str. 125—145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR j.ctt1vwmg8g.11. 
• Šablon:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Ó Searcóid, Mícheál (2006). Metric spaces. London: Springer. ISBN 1-84628-369-8. 
• Papadopoulos, Athanase (2014). Metric spaces, convexity, and non-positive curvature (Second izd.). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-132-3. 
• Rolewicz, Stefan (1987). Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems. Springer. ISBN 90-277-2186-6. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third izd.). New York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474. 
• Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ur.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, str. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 
• Vitányi, Paul M. B. (2011). „Information distance in multiples”. IEEE Transactions on Information Theory. 57 (4): 2451—2456. S2CID 6302496. arXiv:0905.3347 . doi:10.1109/TIT.2011.2110130. 
• Väisälä, Jussi (2005). „Gromov hyperbolic spaces” (PDF). Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187—231. MR 2164775. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 . 
• Vickers, Steven (2005). „Localic completion of generalized metric spaces, I”. Theory and Applications of Categories. 14 (15): 328—356. MR 2182680. Arhivirano iz originala 26. 04. 2021. g. Pristupljeno 27. 06. 2023. 
• Xia, Qinglan (2008). „The geodesic problem in nearmetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 
• Xia, Q. (2009). „The geodesic problem in quasimetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 

Spoljašnje veze

• Topološki prostori na sajtu PlanetMath, pristupljeno: 17. oktobar 2014.