Trilateracija

Slika 1. Primer trilateracije u ravni, tražena tačka se nalazi u preseku dve kružnice određene centrima A i B i njihovih radijusa. Dva merenja nisu dovoljna da bi se jednoznačno odredila tražena pozicija.

U svojoj geometrijskoj interpretaciji trilateracija je proces određivanja apsolutne ili relativne pozicije neke tačke uz pomoć merenja rastojanja koristeći geometriju kruga, sfere ili trougla. Trilateracija ima praktičnu primenu u geodeziji, navigaciji uključujući i globalni pozicioni sistem. Treba je razlikovati od triangulacije, gde se isti rezultat postiže uz pomoć merenja uglova.

Trilateracija je posebno jednostavna u ravni (dvodimenzionalnoj geometriji). Pozicija tražene tačke se nalazi u preseku dve kružnice određene centrima A i B (tačke poznatih koordinata) i njihovih radijusa. Primetite da presek dve kružnice može imati dve tačke, tako da tražena tačka ne može jednoznačno biti određena sa dva merenja, već je potrebno i treće (kojim se odbacuje jedna od dve presečne tačke).

U trodimenzionalnoj geometriji (geometriji u prostoru) pozicija tražene tačke se nalazi u preseku tri sfere (presek prve dve sfere je kružnica, presek ove kružnice i treće sfere su dve tačke). Kao i kod dvodimenzionalnog problema rešenje ne može jednoznačno biti određeno sa tri merenja već je potrebno i četvrto kojim se odbacije jedna od dve presečne tačke.

Dodatno merenje prilikom trilateracije (treće merenje u ravni i četvrto merenje u prostoru) se može iskoristiti za analizu greške trilateracije (na primer tako se dobija radijus greške globalnog pozicionog sistema). Sa svakim dodatnim merenjem je moguće dodatno smanjiti grešku trilateracije.

Primer trilateracije u ravni

Problem se može pojednostaviti bez gubitka opštosti tako što se centar prve kružnice postavi u centar koordinatnog sistema, dok se x osa pogodno odabere tako da oba centra leže na njoj. U tom slučaju jednačine kružnica glase:

$r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}$

$r_{2}^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}$

gde je d rastojanje između centara kružnica. Oduzimanjem druge jednačine od prve i rešavanjem po x se dobija:

$x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}$

smenom ove vrednosti x u prvu jednačinu dobijamo dve moguće vrednosti za y:

$y=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2})^{2}}{4d^{2}}}}}$

Vidi još

• Euklidova geometrija
• Globalni pozicioni sistem