Trodimenzionalni prostor

Reprezentacija trodimenzionog Dekartovog koordinatnog sistema sa x-osom u pravcu posmatrača.

Trodiomenzionalni prostor (skraćeno 3D prostor ili samo 3D) je prostor, koji ima tri dimenzije, ili je to prostor koji je definisan sa tri dimenzije. To je geometrijska postavka u kojoj su potrebne tri vrednosti (zvane parametri) da bi se odredio položaj elementa (tj. tačke). Ovo je neformalno značenje termina dimenzija.

U fizici i matematici, niz od n brojeva može se razumeti kao lokacija u n-dimenzionalnom prostoru. Kada je n = 3, skup svih takvih lokacija naziva se trodimenzionalni euklidski prostor. Obično je predstavljen simbolom ℝ³. Ovo služi kao triparametarski model fizičkog svemira (to je prostorni deo, sa izostavljenim vremenom) u kojem postoji sva poznata materija. Međutim, ovaj prostor je samo jedan primer velike raznolikosti prostora u tri dimenzije koji se nazivaju 3-mnogostrukosti. U ovom klasičnom primeru, kada se tri vrednosti odnose na merenja u različitim pravcima (koordinatama), mogu se odabrati bilo koja tri smera, pod uslovom da vektori u tim smerovima ne leže u istom 2-prostoru (ravni). Dalje, u ovom slučaju ove tri vrednosti mogu se označiti bilo kojom kombinacijom tri termina među pojmovima širina, visina, dubina i dužina.

U Euklidovoj geometriji

Koordinatni sistem

Glavni članak: Koordinate

U matematici, analitička geometrija (takođe poznata kao katezijanska geometrija) opisuje svaku tačku u trodimenzionalnom prostoru pomoću tri koordinate. Date su tri koordinatne ose, svaka od kojij je normalna na druge dve. One se presecaju u koordinatnom početku. One se obično obeležavaju x, y, i z. U odnosu na ove ose, položaj bilo koje tačke u trodimenzionalnom prostoru dat je uređenim tripletom realnih brojeva, pri čemu svaki broj daje udaljenost te tačke od koordinatnog početka, merenu duž date ose, koja je jednaka udaljenosti te tačka od ravni koja je određena sa druge dve ose.

Ostale popularne metode opisa lokacije tačke u trodimenzionalnom prostoru uključuju cilindrične koordinate i sferne koordinate, mada postoji neograničen broj mogućih metoda. Pogledajte Euklidski prostor.

Gore pomenuti sistemi su ilustrovani na sledećim slikama.

• 
  Dekartov koordinatni sistem
• 
  Cilindrični koordinatni sistem
• 
  Sferni koordinatni sistem

Linije i ravni

Dve različite tačke uvek određuju (pravu) liniju. Tri različite tačke su ili kolinearne ili određuju jedinstvenu ravan. Četiri različite tačke mogu biti kolinearne, koplanarne ili odrediđivati ceo prostor.

Dvije različite linije mogu se presecati, biti paralelne ili mimoilazeće. Dve paralelne linije, ili dve presecajuće linije, leže u jedinstvenoj ravni, dok se mimoilazeće linije ne presecaju i ne leže u zajedničkoj ravni.

Dve različite ravni se mogu sastati u zajedničkoj liniji ili su paralelne (ne presecaju se). Tri različite ravni, od kojih nijedan par nije paralelan, mogu se sastati u zajedničkoj liniji, sastati se u jedinstvenoj zajedničkoj tački ili nemaju zajedničku tačku. U poslednjem slučaju, tri linije preseka svakog para ravni su međusobno paralelne.

Linija može da leži u datoj ravni, preseca datu ravan u jedinstvenoj tački ili da bude paralelna sa ravnom. U poslednjem slučaju postoje linije u ravni koje su paralelne sa datom linijom.

Hiperravan je podprostor sa jednom dimenzijom manje od dimenzije celog prostora. Hiperravni trodimenzionalnog prostora su dvodimenzionalni podprostori, odnosno ravni. U smislu kartezijanskih koordinata, tačke hiperravni zadovoljavaju jednu linearnu jednačinu, te su ravni u tom 3-prostoru opisane linearnim jednačinama. Linija se može opisati parom nezavisnih linearnih jednačina, a svaka predstavlja ravan, koje imaju ovu liniju kao zajednički presek.

Varignonova teorema navodi da srednje tačke bilo kog četvorougla u ℝ³ formiraju paralelogram i stoga su koplanarne.

Sfere i kugle

Glavni članak: Sfera

Perspektivna projekcija sfere u dve dimenzije

Sfera u toridimenzionalnom prostoru (takođe zvana 2-sfera jer je ona dvodimenzionalni objekat) sastoji se od seta svih tačaka u trodimenzionalnom prostoru na fiksnom rastojanju r od centralne tačke P. Čvrsta materija zatvorena sferom naziva se lopta (ili tačnije 3-kugla). Zapremina sfere je data sa

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

Jedan drugi tip sfere nastaje iz 4-lopte, čija trodimenzionalna površina je 3-sfera: tačke na jednakoj udaljenosti od koordinatnog početka euklidovog prostora ℝ⁴. Ako tačka ima koordinate, P(x, y, z, w), onda x² + y² + z² + w² = 1 karakteriše te tačke na jedinici 3-sfere centrirane na koordinatnom početku.

Politopi

Glavni članak: Poliedar

U tri dimenzije, postoji devet pravilnih politopa: pet konveksnih Platonskih poliedara i četiri nekonveksna Kepler-Puansova poliedra.

Regularni polipoti u tri dimenzije

Klasa	Platonskih poliedri					Kepler-Puansovi poliedri
Simetrija	Td	Oh		Ih
Kokseterova grupa	A3, [3,3]	B3, [4,3]		H3, [5,3]
Drugi	24	48		120
Regularni poliedar	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

Vidi još

• Trodimenzionalna računarska grafika
• Dvodimenzionalni prostor
• Četvorodimenzionalni prostor
• Šestodimenzionalni prostor

Literatura

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th izd.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2 
• Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6 
• Barenblatt, G. I. (1996), Scaling, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43522-2 
• Bhaskar, R.; Nigam, Anil (1990), „Qualitative Physics Using Dimensional Analysis”, Artificial Intelligence, 45 (1–2): 73—111, doi:10.1016/0004-3702(90)90038-2 
• Bhaskar, R.; Nigam, Anil (1991), „Qualitative Explanations of Red Giant Formation”, The Astrophysical Journal, 372: 592—6, Bibcode:1991ApJ...372..592B, doi:10.1086/170003 
• Boucher; Alves (1960), „Dimensionless Numbers”, Chemical Engineering Progress, 55: 55—64 
• Bridgman, P. W. (1922), Dimensional Analysis, Yale University Press, ISBN 978-0-548-91029-0 
• Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743  
• Drobot, S. (1953—1954), „On the foundations of dimensional analysis” (PDF), Studia Mathematica, 14: 84—99, doi:10.4064/sm-14-1-84-99 , Arhivirano (PDF) iz originala 2004-01-16. g. 
• Gibbings, J.C. (2011), Dimensional Analysis, Springer, ISBN 978-1-84996-316-9 
• Hart, George W. (1994), „The theory of dimensioned matrices”, Ur.: Lewis, John G., Proceedings of the Fifth SIAM Conference on Applied Linear Algebra, SIAM, str. 186—190, ISBN 978-0-89871-336-7  As postscript
• Hart, George W. (1995), Multidimensional Analysis: Algebras and Systems for Science and Engineering, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94417-3 
• Huntley, H. E. (1967), Dimensional Analysis, Dover, OCLC 682090763, OL 6128830M, LOC 67-17978 
• Klinkenberg, A. (1955), „Dimensional systems and systems of units in physics with special reference to chemical engineering: Part I. The principles according to which dimensional systems and systems of units are constructed”, Chemical Engineering Science, 4 (3): 130—140, 167—177, Bibcode:1955ChEnS...4..130K, doi:10.1016/0009-2509(55)80004-8 
• Langhaar, Henry L. (1951), Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley, ISBN 978-0-88275-682-0 
• Mendez, P.F.; Ordóñez, F. (septembar 2005), „Scaling Laws From Statistical Data and Dimensional Analysis”, Journal of Applied Mechanics, 72 (5): 648—657, Bibcode:2005JAM....72..648M, CiteSeerX 10.1.1.422.610 , doi:10.1115/1.1943434 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Moody, L. F. (1944), „Friction Factors for Pipe Flow”, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 66 (671) 
• Murphy, N. F. (1949), „Dimensional Analysis”, Bulletin of the Virginia Polytechnic Institute, 42 (6) 
• Perry, J. H.; et al. (1944), „Standard System of Nomenclature for Chemical Engineering Unit Operations”, Transactions of the American Institute of Chemical Engineers, 40 (251) 
• Pesic, Peter (2005), Sky in a Bottle, MIT Press, str. 227–8, ISBN 978-0-262-16234-0 
• Petty, G. W. (2001), „Automated computation and consistency checking of physical dimensions and units in scientific programs”, Software: Practice and Experience, 31 (11): 1067—76, S2CID 206506776, doi:10.1002/spe.401 
• Porter, Alfred W. (1933), The Method of Dimensions (3rd izd.), Methuen 
• J. W. Strutt (3rd Baron Rayleigh) (1915), „The Principle of Similitude”, Nature, 95 (2368): 66—8, Bibcode:1915Natur..95...66R, doi:10.1038/095066c0  
• Siano, Donald (1985), „Orientational Analysis – A Supplement to Dimensional Analysis – I”, Journal of the Franklin Institute, 320 (6): 267—283, doi:10.1016/0016-0032(85)90031-6 
• Siano, Donald (1985), „Orientational Analysis, Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units – II”, Journal of the Franklin Institute, 320 (6): 285—302, doi:10.1016/0016-0032(85)90032-8 
• Silberberg, I. H.; McKetta, J. J. Jr. (1953), „Learning How to Use Dimensional Analysis”, Petroleum Refiner, 32 (4): 5 , (5): 147, (6): 101, (7): 129
• Tao, Terence (2012). „A mathematical formalisation of dimensional analysis”. 
• Van Driest, E. R. (mart 1946), „On Dimensional Analysis and the Presentation of Data in Fluid Flow Problems”, Journal of Applied Mechanics, 68 (A–34) CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Whitney, H. (1968), „The Mathematics of Physical Quantities, Parts I and II”, American Mathematical Monthly, 75 (2): 115—138, 227—256, JSTOR 2315883, doi:10.2307/2315883 
• Vignaux, GA (1992), „Dimensional Analysis in Data Modelling”, Ur.: Erickson, Gary J.; Neudorfer, Paul O., Maximum entropy and Bayesian methods: proceedings of the Eleventh International Workshop on Maximum Entropy and Bayesian Methods of Statistical Analysis, Seattle, 1991, Kluwer Academic, ISBN 978-0-7923-2031-9 
• Kasprzak, Wacław; Lysik, Bertold; Rybaczuk, Marek (1990), Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models, World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7 
• Giancoli, Douglas C. „1. Introduction, Measurement, Estimating §1.8 Dimensions and Dimensional Analysis”. Physics: Principles with Applications (7th izd.). ISBN 978-0-321-62592-2. OCLC 853154197. 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Four-Dimensional Geometry”. MathWorld. 
• Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991