Turalf Skulem

Turalf Skulem
Turalf Skulem 1930-ih
Lični podaci
Puno ime	Turalf Albert Skulem
Datum rođenja	(1887-05-23)23. maj 1887.
Mesto rođenja	Sandsver, Norveška
Datum smrti	23. mart 1963.(1963-03-23) (75 god.)
Mesto smrti	Oslo, Norveška
Naučni rad
Polje	matematika
Institucija	Univerzitet u Oslu Institut Kristijan Mikelsen
Učenici	Ejstajn Ore
Mentori	Aksel Tu
Poznat po	Skulem-Neter teorema Levenhajm-Skolemova teorema

Turalf Albert Skulem (norv. Thoralf Albert Skolem, ˈtuːɾɑlf ˈskuːləm; 23. maj 1887 – 23. mart 1963) bio je norveški matematičar koji je radio na poljima matematičke logike i teorije skupova.

Biografija

Iako je Skulemov otac bio nastavnik u osnovoj školi, većina njegove familije bavila se poljoprivredom. Skulem je pohađao srednju školu u Kristijaniji (gradu koji je kasnije preimenovan u Oslo), položivši prijemni ispit za univerzitet 1905. godine. Tad se upisao na Univerzitet kralja Frederika kako bi studirao matematiku, ali je pohađao i kurseve fizike, hemije, zoologije i botanike.

Godine 1909. počeo je da radi kao asistent fizičaru Kristijanu Birkelandu, poznatom po bombardovanju magnetizovanih sfera elektronima i dobijanjem efekata sličnim aurori; tako su Skulemove prve publikacije bili radovi iz fizike koje je napisao zajedno sa Birkelandom. Godine 1913. Skulem je prošao državni ispit sa pohvalom i završio je disertaciju pod nazivom Istraživanja algebre logike. Takođe je putovao sa Birkelandom u Sudan, kako bi posmatrao zodijačku svetlost. Proveo je zimski semestar 1915. godine na Univerzitetu u Getingenu, tada vodećem istraživačkom centru na poljima matematičke logike, matematike i apstraktne algebre, na kojima je Skulem kasnije briljirao. Godine 1916. postavljen je za istraživača na Univerzitetu kralja Frederika. Godine 1918. postao je docent matematike i izabran je u Norvešku akademiju nauka.

Skulem se isprva nije formalno prijavio da bude doktorski kandidat, verujući da je doktorat bio nepotreban u Norveškoj. Kasnije je promenio mišljenje i podneo tezu 1926. godine, pod nazivom Neke teoreme o celobrojnim rešenjima pojedinih algebarskih jednačina i nejednačina. Njegov mentor doktorske teze bio je Aksel Tu, iako je Tu umro 1922. godine.

Godine 1927. oženio se sa Edit Vilhelminom Hasvold.

Skulem je nastavio da predaje na Univerzitetu kralja Frederika (koji je preimenovam u Univerzitet u Oslu 1939. godine) do 1930. godine, kada je postao naučni saradnik na Institutu Kristijan Mikelsen u Bergenu. Ova pozicija omogućila je Skulemu da vrši istraživanja bez administrativnih i predavačkih obaveza. Međutim, ta pozicija je takođe zahtevala da živi u Bergenu, gradu koji tada nije imao univerzitet, pa samim tim ni istraživačku biblioteku, tako da nije bio u mogućnosti da bude u toku sa matematičkom literaturom. Godine 1938. vratio se u Oslo kako bi dobio profesuru matematike na univerzitetu. Tamo je predavao postdiplomske kurseve algebre i teorije brojeva, a samo povremeno matematičke logike. Skulemov doktorski student Ejstajn Ore nastavio je svoju karijeru u SAD.

Skulem je bio predsednik Norveškog matematičkog društva i bio je mnogogodišnji urednik lista Norsk Matematisk Tidsskrift ("Norveški matematički žurnal"). Takođe je bio osnivački urednik časopisa Mathematica Scandinavica.

Po svom penzionisanju 1957. godine, više puta je odlazio u Sjedinjene Države, gde je držao predavanja na tamošnjim univerzitetima. Ostao je intelektualno aktivan do svoje iznenadne i neočekivane smrti.

Matematika

Skulem je objavio oko 180 radova vezanih za diofantske jednačine, teoriju grupa, teoriju latica, i ponajviše za teoriju skupova i matematičku logiku. Najviše je objavljivao u norveškim časopisima sa ograničenim međunarodnim tiražom, tako da su njegove rezultate drugi matematičari otkrivali tek povremeno. Jedan primer je Skulem—Neterina teroema, koja karakteriše automorfizme prostih algebri. Skulem je objavio dokaz 1927. godine, ali ga je Emi Neter nezavisno otkrila nekoliko godina kasnije.

Skulem je bio među prvima koji su pisali o laticama. Godine 1912. bio je prvi koji je opisao slobodnu distributivnu laticu koju generiše n elemenata. Godine 1919. dokazao je da je svaka implikativna latica (koja se sada naziva i Skulemova latica) distributivna i da je svaka konačna distributivna latica implikativna. Nakon što su ove rezultate otkrili i ostali, Skulem je objavio rad 1936. godine na nemačkom jeziku, pod nazivom "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", prikazujući svoje ranije radove na teoriji latica.

Skulem je bio pionir u teoriji modela. Godine 1920. umnogome je uprostio dokaz teoreme koju je Leopold Levenhajm dokazao 1915. godine, što je rezultovalo Levenhajm—Skulemovom teoremom, koja kazuje da ako prebrojiva teorija prvog reda ima beskonačni model, onda ima prebrojiv model. Njegov dokaz iz 1920. godine iskoristio je aksiomu izbora, ali je kasnije (1922. i 1928. godine) predstavio dokaze koristeći Kenigovu lemu umesto te aksiome. Interesantno je da je Skulem, kao i Levenhajm, pisao na temu matematičke logike i teorije skupova koristeći notaciju pionira teorije modela, Čarlsa Sandersa Pirsa i Ernsta Šredera, uključujući ∏ i ∑ kao kvantifikatore za vezivanje promenljivih, u suprotnosti sa notacijom koju su koristili Peano, Principia Mathematica i Принципи математичке логике. Skulem (1934) je bio pionir u konstrukciji nestandardnog modela aritmetike i teorije skupova.

Skulem (1922) je rafinisao Zermelove aksiome za teoriju skupova, tako što je zamenio Zermelov nejasan pojam "konačnih" svojstava sa bilo kojim svojstvom koje može da se kodira u logici prvog reda. Rezultujuća aksioma je sada deo standardnih aksioma teorije skupova. Skulem je takođe istakao da je posledica Levenhajm—Skulemove teoreme ono što je sada poznato kao Skulemov paradoks: Ako su Zermelove aksiome konzistentne, onda one moraju da budu zadovoljavajuće u okviru prebrojivog domena, iako dokazuju postojanje neprebrojivih skupova.

Potpunost

Potpunost logike prvog reda je laka posledica rezultata koje je Skulem dokazao početkom 1920-ih godina i diskutovao u radu Skulem (1928), ali nije naglasio ovu činjenicu, možda zato što matematičari i logičari nisu postali potpuno svesni potpunosti kao fundamentalnog matematičkog problema dok ga 1928. godine prvo izdanje Hilbertovog i Akermanovog rada Principi matematičke logike nije jasno artikulisalo. U svakom slučaju, Kurt Gedel je prvi dokazao ovu potpunost 1930. godine.

Skulem nije imao poverenja u beskonačnost i bio je jedan od osnivača matematičkog finitizma. Skulem (1923) postavlja svoju primitivnu rekurzivnu aritmetiku, vrlo rani doprinos teoriji izračunljivih funkcija, kao način izbegavanja takozvanih paradoksa beskonačnosti. Tu je razvio aritmetiku prirodnih brojeva tako što je prvo definisao objekte koristeći primitivnu rekurziju, a onda je osmislio drugi sistem za dokazivanje svojstava objekata definisanih prvim sistemom. Ova dva sistema su mu omogućila da definiše proste brojeve i da uspostavi znatan deo teorije brojeva. Ako se prvi od ovih sistema može smatrati programskim jezikom za definisanje objekata, a drugi kao programska logika za dokazivanje svojstava objekata, onda se Skulem može smatrati kao nenameran pionir teoretskog računarstva.

Godine 1929. Presburger je dokazao da je Peanova aritmetika bez množenja neprotivrečna, kompletna i odlučiva. Naredne godine, Skulem je dokazao da isto to važi i za Peanovu aritmetiku bez sabiranja, sistem koji je nazvan Skulemova aritmetika u njegovu čast. Gedelov poznati rezultat iz 1931. godine je taj da je sama Peanova aritmetika (sa sabiranjem i množenjem) nepotpuna, pa samim tim a posteriori neodlučiva.

Hao Vang pohvalio je Skulemova dela na sledeći način:

"Skulem ima sklonost da generalne probleme rešava konkretnim primerima. Često je delovalo da predstavlja dokaze istim redosledom kojim ih je otkrivao. Ovo ima za posledicu svežu neformalnost kao i određenu nekonkluzivnost. Mnogi od njegovih radova deluju kao izveštaji o napretku. Ipak, njegove ideje su često trudne i potencijalno moguće za široku primenu. Bio je vrlo 'slobodnog duha': nije pripadao nijednoj školi, nije osnovao nijednu svoju školu, nije često koristio poznate rezultate... bio je inovator i većina njegovih radova može da se pročita i razume bez puno specijalizovanog znanja. Da je mlad danas, deluje vrlo izvesno da mu logika... ne bi bila interesantna." (Skulem 1970: 17-18)

Vidi još

• Leopold Levenhajm
• Teorija modela
• Skulemova normalna forma (skolemizacija)
• Skulemov paradoks
• Skulemov problem
• Skulemova sekvenca
• Skulem-Maler-Lehova teorema

Reference

Primarne

• Skolem, Thoralf (1934). „Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen” (PDF). Fundamenta Mathematicae (na jeziku: German). 23 (1): 150—161. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Skolem, T. A., 1970. Selected works in logic, Fenstad, J. E., ed. Oslo: Scandinavian University Books.

Pisanja u engleskom prevodu

• Žan van Hajenort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  • 1920. "Logico-combinatorial investigations on the satisfiability or provability of mathematical propositions: A simplified proof of a theorem by Löwenheim," 252–263.
  • 1922. "Some remarks on axiomatized set theory," 290-301.
  • 1923. "The foundations of elementary arithmetic," 302-33.
  • 1928. "On mathematical logic," 508–524.

Sekundarne

• Brady, Geraldine, 2000. From Peirce to Skolem. North Holland.
• Fenstad, Jens Erik, 1970, "Thoralf Albert Skolem in Memoriam" in Skolem (1970: 9–16).
• Hao Wang, 1970, "A survey of Skolem's work in logic" in Skolem (1970: 17–52).

Spoljašnje veze

• MacTutor: Turalf Skulem
• Fenstad, Jens Erik, 1996, "Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch," Nordic Journal of Philosophical Logic 1: 99-106.