Unutrašnji proizvod prostora je poopštenje skalarnog proizvoda vektora, čiji rezultat je skalar.
- Definicija
- Neka je V vektorski prostor. Unutrašnji proizvod nad poljem realnih brojeva (ℝ) je preslikavanje
- sa sledećim osobinama
- (pozitivnost)
- (nulta dužina)
- (linearnost)
- (simetrija)
Za unutrašnji proizvod istog vektorskog prostora nad poljem kompleksnih brojeva (ℂ) osobina simetrije (četvrta) je osobina konjugovane simetrije
- 4. (konjugovana simetrija)
Norma (intenzitet, dužina) vektora definiše se sa
- Stav 1.
- Norma zadovoljava sledeće osobine>
Dokaz: Imamo da je
-
- ♦
- Stav 2.
Dokaz: Možemo pretpostaviti da su oba vektora različita od nule, jer je u suprotnom nejednakost očigledna. Dalje, koristimo definicione osobine
- - pozitivnost
- - linearnost
- - simetrija
Otuda
ili
što je i trebalo dokazati.♦
Primetimo da je
ako i samo ako je
tj. ako je
Prema tome, u i v moraju biti na istoj pravoj koja sadrži ishodište.
- Posledica 3.
U stavu 2. stoji jednakost, tj.
ako i samo ako su u i v na istoj pravoj koja prolazi ishodištem.
Sledeći stav je poopštenje Pitagorine teoreme.
- Stav 4.
- Za proizvoljne vektore u i v datog vektorskog prostora važi
- Biće
- ako i samo ako je
Dokaz:
-
Prema tome, dokazano je
U istom dokazu, ako je <u, v> = 0, onda je
Obratno, ako imamo navedenu jednakost, iz istog djela dokaza vidimo da je unutrašnji proizvod nula.♦
Na primjer, dati su vektori
Pokazaćemo da za njih važi jednakost stava 4. Naime
- - normalnost
Sa druge strane, iz u + v = (1, 8, 1) sledi
Prema tome, tačno je
Skalarni proizvod vektora u i v iz ℝn je skalar (realan) broj
Norma, dužina vektora v je nenegativan broj
Na primer, u = (1, -2, 3) i v = (2, 1, -1). Tada je prostor 3-dimenzionalan (n = 3), pa imamo
Normalnost se može definisati za opšti slučaj dimenzije n = 2, 3, ..., zbog nejednakosti
tj.
Naime, za vektore ne nulte dužine, imamo
pa možemo definisati kosinus ugla između njih
Kažemo da su dva vektora normalna kada je ovaj kosinus nula, preciznije
Normalnost je veoma praktična.
Na primer, treba naći tačku P na pravoj y = 2x + 1 koja je najbliža tački T(4, 2) van te prave.
Prvo definišemo vektore u = (t, 2t + 1) čiji vrhovi su tačke na datoj pravoj, recimo u1 = (0, 1) i u2 = (1, 3). Vektor u0 = u2 - u1 = (1, 2) paralelan je datoj pravoj. Zatim definišemo vektor v = (4, 2) čiji vrh je data tačka T. Ako je parametar t takav da je u najbliža tačka tački T, dakle da je to tražena tačka P, onda je vektor PT = v - u = (4 - t, 1 - 2t) normalan na datu pravu. Prema tome, rješenje zadatka je rješenje jednačine
Dalje lako nalazimo, redom
Našli smo tačku P na pravoj y = 2x + 1 koja je najbliža tački T(4, 2) van te prave.
U istom primeru, drugo pitanje je: kolika je udaljenost od date prave do date tačke?
Odgovor je: to je dužina vektora PT = v - u, gdje sada za vrh vektora u treba uzeti tačku P, tj.
-
Neka su dati zatvoreni interval I = [a, b], pri čemu je a < b, i vektorski prostor V koji čini skup integrabilnih funkcija na tom intervalu.
- Stav
je unutrašnji proizvod na prostoru V.
Dokaz: Neka su α i β realni brojevi, a f, g i h vektori iz V. Tada:
1.
jer
2.
tj. funkcija f(t) jednaka je nuli u svakoj tački datog intervala.
3.
4. ♦.
Norma ovog prostora je
- Primjer 1.
Neka je a = 0 i b = 1, i neka su dati polinomi
Tada imamo
-
Za njihove norme imamo
-
- Primjer 2.
Na istom intervalu I = [0, 1] date su trigonometrijske funkcije
Tada je
-
Prema tome, ove fukcije su normalne na datom intervalu.♦
- Primjer 3.
Na intervalu [0, 1] dat je polinom f(t) = t. Naći polinom oblika g(t) = kt + n normalan na dati.
Rješenje: Tražimo brojeve k i n takve da je
-
Prema tome, 2k + 3n = 0. Pa možemo uzeti, recimo g(t) = 3t - 2.♦