Frenelovi integrali

Frenelovi integrali $S(x)$ i $C(x)$ predstavljaju dve matematičke transcedentne funkcije, koje je Ogisten Žan Frenel koristio u optici. Koriste se da opišu Frenelovu difrakciju, a definisane su sledećim integralima: $S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Istovremenim parametarskim crtežom oba integrala dobija se Ojlerova spirala.

Definicija

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},$

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.$

Neki autori koriste ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ kao argument u integralu prilikom definicije $S(x)$ i $C(x)$. Tada se integrali množe sa ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$, a argument x sa $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$.

Ojlerova spirala

Ojlerova spirala

Ojlerova spirala poznata je i kao Kornuova spirala ili klotoida, a dobija se parametarskim prikazom $S(t)$ prema $C(t)$. Pomoću definicija Frenelovih integrala za dx i dy dobija se:

$dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,$

$dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,$

Dužina spirale merena iz ishodišta može da se predstavi kao:

$L=\int _{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t}{dt}=t$

Svojstva

• $S(x)$ i $C(x)$ su neparne funkcije
• Frenelovi integrali mogu da se izraze preko $\operatorname {erf} (x)$ funkcija greške:

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right).$

• Integrali ne mogu da se izračunaju u zatvorenoj formi pomoću elementarnih funkcija, sem u specijalnim slučajevima. Kako x teži beskonačnosti dobija se:

$\int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Generalizacija

$\int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\sin({\frac {\pi }{2a}})}{a}}$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Frenelovi integrali