Генералисане координате

Радијус вектор положаја у цилиндричним координатама

Често Декартове координате нису погодне за решавање проблема у математици и физици, па према врсти симетрије проблема користе се генералисане координате.

Цилиндричне и сферне координате

На пример, ако постоји цилиндрична симетрија, користе се цилиндричне координате, где се радијус вектор положаја описује као:${\overrightarrow {r}}(\rho ,\phi ,z)=\rho {\overrightarrow {e}}_{\rho }+z{\overrightarrow {k}}$

${\overrightarrow {r}}(\rho ,\phi ,z)=x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}=\rho \cos \phi {\overrightarrow {i}}+\rho \sin \phi {\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}$=>${\overrightarrow {e}}_{\rho }=\cos \phi {\overrightarrow {i}}+\sin \phi {\overrightarrow {j}}$

Сада брзина тела постаје:${d{\overrightarrow {r}} \over dt}={d\rho \over dt}{\overrightarrow {e}}_{\rho }+\rho {d\phi \over dt}{\overrightarrow {e}}_{\phi }$;${\overrightarrow {e}}_{\phi }=\sin \phi {\overrightarrow {i}}+\cos \phi {\overrightarrow {j}}$

Приметити да је: ${\overrightarrow {e}}_{\rho }={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \rho }$ и $\rho {\overrightarrow {e}}_{\phi }={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \phi }$

Код сферних координата:${\overrightarrow {r}}(r,\theta ,\phi )=x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}=r\sin \theta \cos \phi {\overrightarrow {i}}+r\sin \theta \sin \phi {\overrightarrow {j}}+r\cos \theta {\overrightarrow {k}}$

Радијус вектор положаја у сферним координатама

${\overrightarrow {e}}_{r}={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial r}=\sin \theta \cos \phi {\overrightarrow {i}}+\sin \theta \sin \phi {\overrightarrow {j}}+\cos \theta {\overrightarrow {k}}$

$r{\overrightarrow {e}}_{\theta }={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \theta }=r\cos \theta \cos \phi {\overrightarrow {i}}+r\cos \theta \sin \phi {\overrightarrow {j}}-r\sin \theta {\overrightarrow {k}}$;

$r\sin \theta {\overrightarrow {e}}_{\phi }={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \phi }=-r\sin \theta \sin \phi {\overrightarrow {i}}+r\sin \theta \cos \phi {\overrightarrow {j}}$

У општем случају:$h_{q_{i}}{\overrightarrow {e}}_{q_{i}}={\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial q_{i}}$

Површина и запремина сфере

Површина било које криве површи добија се као:$\iint {\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \theta }\times {\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \phi }d\phi d\theta =\iint r^{2}\sin \theta d\theta d\phi =S$

$S=r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =r^{2}2\pi 2=4\pi r^{2}$

Запремина лопте или сфере добија се као интеграл мешовитог производа вектора:

$\iiint {\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial r}\cdot {\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \theta }\times {\partial {\overrightarrow {r}} \over \partial \phi }drd\phi d\theta =\iiint r^{2}\sin \theta d\theta d\phi dr$= $\int _{0}^{R}r^{2}dr\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta ={\frac {4\pi }{3}}R^{3}$

Овде се користила особина ортонормираности генералисаних ортова, тј.:${\overrightarrow {e}}_{r}\cdot {\overrightarrow {e}}_{\phi }={\overrightarrow {e}}_{r}\cdot {\overrightarrow {e}}_{\phi }={\overrightarrow {e}}_{\theta }\cdot {\overrightarrow {e}}_{\theta }=0$;${\overrightarrow {e}}_{r}\cdot {\overrightarrow {e}}_{r}={\overrightarrow {e}}_{\phi }\cdot {\overrightarrow {e}}_{\phi }={\overrightarrow {e}}_{\theta }\cdot {\overrightarrow {e}}_{\theta }=1$