Нова страница: {{3БГД022014}} Image:Unit circle angles color.svg|250px|thumb|The primary solution angles{{clarifyme | reason = What are 'primary solution angles'?|date=August 201…
Овај чланак је део пројектасеминарских радова „Вики гимназијалац” у Трећој београдској гимназији у Београду. Датум уноса: децембар 2013 — фебруар 2014. Ова група ученика уређиваће у простору чланака. Немојте пребацивати чланак у друге именске просторе. Позивамо вас да допринесете његовом квалитету и помогнете студентима при уређивању.
Тачни алгебарски изрази за тригонометријске вредности су понекад корисни, углавном за поједностављење решења у сложеним облицима који омогућавају даље поједностављење.
Све вредности синуса, косинуса и тангенса углова са корацима од по 3° могу се у потпуности извести користећи формуле за полууглове, двоструке углове и адиционе формуле за вредности за 0 °, 30 °, 36 °, и 45 °. Треба уочити да је 1° = π/180 радијана.
Према Нивеновој теореми, једине рационалне вредности синусне функције за коју је аргумент степена угла рационалан број су вредности 0, 1/2, 1.
Ферматови бројеви
Списак у овом чланку је непотпун због најмање два разлога. Прво, увек је могуће применити формулу за полууглове да бисмо пронашли тачан резултат косинуса једне половине сваког угла на листи, онда половину тог угла, итд. Друго, у овом чланку обухвата само прва два од пет познатих Ферматових простих бројева: 3 и 5, док алгебарске вредности такође постоје и за косинус од 2π/17, 2π/257 и 2π/65537 . У пракси, све вредности синуса, косинуса и тангенса које нису нађене у овом чланку се приближно одређују помоћу техника описаних у Генерисању тригонометријских табела.
Табела константи
Вредности углова ван опсега [0 °, 45 °] су изведени тривијално од ових вредности, користећи круг рефлексије осе симетрије. (Видети тригонометријске идентитете.)
In the entries below, when a certain number of degrees is related to a regular polygon, the relation is that the number of degrees in each angle of the polygon is (n–2) times the indicated number of degrees (where n is the number of sides). This is because the sum of the angles of any n-gon is 180°×(n–2) and so the measure of each angle of any regular n-gon is 180°×(n–2)÷n. Thus for example the entry "45°: square" means that, with n=4, 180°÷n = 45°, and the number of degrees in each angle of a square is (n–2)×45° = 90°.
As an example of the use of these constants, consider a dodecahedron with the following volume, where a is the length of an edge:
Using
this can be simplified to:
Derivation triangles
The derivation of sine, cosine, and tangent constants into radial forms is based upon the constructibility of right triangles.
Here right triangles made from symmetry sections of regular polygons are used to calculate fundamental trigonometric ratios. Each right triangle represents three points in a regular polygon: a vertex, an edge center containing that vertex, and the polygon center. An n-gon can be divided into 2n right triangles with angles of {180/n, 90−180/n, 90} degrees, for n in 3, 4, 5, ...
Constructibility of 3, 4, 5, and 15-sided polygons are the basis, and angle bisectors allow multiples of two to also be derived.
Nonconstructible (with whole or half degree angles) – No finite radical expressions involving real numbers for these triangle edge ratios are possible, therefore its multiples of two are also not possible.
which is the reciprocal 1/φ of the golden ratio. Crd is the Chord function,
Thus
(Alternatively, without using Ptolemy's theorem, label as X the intersection of AC and BD, and note by considering angles that triangle AXB is isosceles, so AX = AB = a. Triangles AXD and CXB are similar, because AD is parallel to BC. So XC = a·(a/b). But AX + XC = AC, so a + a2/b = b. Solving this gives a/b = 1/φ, as above).
Similarly
so
Algebraic method
The multiple angle formulas for functions of , where and , can be solved for the functions of , since we know the function values of . The multiple angle formulas are:
,
.
When or , we let or and solve for :
.
One solution is zero, and the resulting 4th degree equation can be solved as a quadratic in .
When or , we again let or and solve for :
,
which factors into:
.
n × π/20
9° is 45-36, and 27° is 45−18; so we use the subtraction formulas for sine and cosine.
n × π/30
6° is 36-30, 12° is 30−18, 24° is 54−30, and 42° is 60−18; so we use the subtraction formulas for sine and cosine.
n × π/60
3° is 18−15, 21° is 36−15, 33° is 18+15, and 39° is 54−15, so we use the subtraction (or addition) formulas for sine and cosine.
Strategies for simplifying expressions
Rationalize the denominator
If the denominator is a square root, multiply the numerator and denominator by that radical.
If the denominator is the sum or difference of two terms, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. The conjugate is the identical, except the sign between the terms is changed.
Sometimes you need to rationalize the denominator more than once.
Split a fraction in two
Sometimes it helps to split the fraction into the sum of two fractions and then simplify both separately.
Squaring and square rooting
If there is a complicated term, with only one kind of radical in a term, this plan may help. Square the term, combine like terms, and take the square root. This may leave a big radical with a smaller radical inside, but it is often better than the original.
Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3”. Int. J. Quantum Chemistry. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803.
Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. arXiv:math-ph/9812019.
Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. Disc. and Comp. Geom. 22 (3): 321–332. MR1706614. doi:10.1007/PL00009463.
Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n”. Acta Arithmetica. 81: 387–398. MR1472818.